4. Малые колебания механических систем.

Рассмотрим систему с степенями свободы, состояние которой в момент времени задается вектор-функцией Пусть потенциальная энергия системы имеет точку минимума Будем рассматривать малые колебания системы вблизи этого положения равновесия. Разлагая функции в ряд по степеням отклонений получаем

Здесь многоточием обозначены члены третьего и более высокого порядка малости и Матрица — симметрическая, так как

Кинетическая энергия Т системы имеет вид:

и вблизи положения равновесия имеем

где Отбрасывая члены третьего порядка малости, для функций Лагранжа (см. гл. 6, § 5) получаем выражение

Можно считать, что для этого достаточно перегруппировать слагаемые в выражении для Г. Тогда матрица будет симметрической.

Так как кинетическая энергия системы положительна, то матрица М положительно определена. Будем предполагать, что точка минимума невырождена, т. е. тогда матрица К также положительно определенная. Уравнения движения системы имеют вид

так что

Так как М, К — симметрические положительно определенные матрицы, то, в силу известной теоремы линейной алгебры они одновременно приводятся к диагональному виду (достаточно даже положительной определенности только одной из этих матриц). Поэтому существует матрица Т такая, что

где — диагональные матрицы с элементами к Сделаем в системе (23) подстановку тогда, после умножения полученной системы слева на матрицу получим систему

Эта система распадается на независимых уравнений

и все вещественные решения системы даются формулами

Здесь — произвольные вещественные постоянные. Соответственно, все решения системы (23) имеют вид

где есть столбец матрицы Т. Таким образом, малые колебания механической системы распадаются на гармонические колебания с частотами вдоль ортогональных осей, с направляющими векторами . В механике эти оси называются главными.