§ 7. Линейные уравнения с правой частью — квазимногочленом

Частное решение неоднородного линейного дифференциального уравнения вида

где — многочлен степени может быть найдено элементарно.

Лемма 1. Если — дифференциальный оператор с постоянными коэффициентами, то справедлива формула сдвига:

Доказательство. По формуле Лейбница имеем

Следовательно,

Теорема. 1°. Нерезонансный случай. Пусть не является корнем характеристического уравнения.

Тогда уравнение (1) имеет частное решение вида

где — многочлен степени .

2°. Резонансный случай. Пусть — корень характеристического уравнения, кратности к. Тогда уравнение (1) имеет частное решение вида

где — многочлен степени т.

Доказательство. Сделаем замену

и применим формулу сдвига (2). Тогда для получим уравнение

Многочлен равен и так как , то . По условию,

Будем искать в виде

где — неизвестные коэффициенты (метод неопределенных коэффициентов). Подставляя в уравнение (6), получаем

Приравняем коэффициенты при степенях тогда получим уравнения

Так как , то из этой системы последовательно находятся коэффициенты . Из формул (7), (5) следует формула (3).

В случае 2° характеристическое уравнение имеет корень кратности к, так как Поэтому

Введем новую неизвестную функцию тогда для получим уравнение

Поскольку то для этого уравнения имеет место случай 1°, и оно имеет частное решение вида

Интегрируя, получаем

Интегрируя от 0 до а: еще раз, получаем где — многочлен степени . Из этой формулы и (5) следует (4).

Рассмотрим уравнение

Пусть коэффициенты уравнения число и коэффициенты многочлена вещественны. Найдем вещественное частное решение уравнения (8). Заметим, что если число не является корнем характеристического уравнения или является корнем кратности к, то тем же свойством обладает комплексно сопряженное число Уравнение (8) имеет вещественное частное решение вида

если не является корнем характеристического уравнения, и вида

если — корень характеристического уравнения кратности k. Здесь — многочлен степени с вещественными коэффициентами.

Пример 1. Рассмотрим уравнение Ньютона

Здесь вещественно. Удобнее вместо уравнения (9) решать уравнение

Вещественная часть решения удовлетворяет уравнению (9).

1°. Пусть тогда частное решение ищем в виде Подставляя в (9), находим , так что всякое решение уравнения (9) имеет вид

а всякое вещественное решение уравнения (9) имеет вид

2°. Пусть тогда частное решение ищем в виде (так как кратность к корня уравнения Всякое решение уравнения (9) имеет вид

а всякое вещественное решение уравнения (9) имеет вид

Приведем физическую интерпретацию формул (11), (12). Однородное уравнение (9) (при описывает свободные колебания материальной точки, частоты (§ 6). Уравнение (9) описывает колебания материальной точки под действием внешней периодической силы, с частотой со.

Если со то все решения уравнения (9) ограничены при как видно из формулы (11).

Если же то любое решение уравнения (9) неограничено при из-за наличия слагаемого (см. (12)), т. е. колебания точки становятся о неограниченными. Это явление называется резонансом — совпадают собственная частота колебаний и частота колебаний внешней силы со. Типичным примером резонансного явления служат обычные качели, если подталкивать их «в такт».

3°. Вернемся к случаю со и пусть правая часть в (9) равна Тогда

где вещественные постоянные; пусть

А. Если частоты соизмеримы, т. е. их отношение есть рациональное число, то — периодическая функция. Действительно, где — целые числа; можно считать, что они положительны и взаимно просты. Тогда период колебаний равен

Б. Если частоты несоизмеримы, т. е. их отношение есть иррациональное число, то — непериодическая функция. Допустим противное, и пусть — период функции Из тождества находим:

Выберем так, чтобы где к — целое число, тогда первое слагаемое в (14) обратится в нуль, и мы получим соотношение

Если равен нулю первый сомножитель, то где — целое число. Это значение Т есть период второго слагаемого из (13), следовательно, Т — период первого слагаемого. Все периоды первого слагаемого из (13) имеют вид где целое число. Поэтому при некотором целом так что отношение — рациональное число. Это противоречит несоизмеримости частот

Пусть второй сомножитель из (15) равен нулю, тогда

где — целое число. Полагая и вычитая первое тождество из второго, получаем где — целое число. Поэтому отношение — рациональное число, что противоречит предположению о их несоизмеримости. Итак, — непериодическая функция.

Покажем, что

где числовая прямая. Пусть для простоты. Положим где к — целое число, тогда первое слагаемое в (13) будет равно Покажем, что второе слагаемое может принимать при значения, сколь угодно близкие к Аргумент косинуса равен

число не зависит от k. Нам понадобится

Лемма 2. Пусть а — иррациональное число. Тогда для любого числа и для любого найдется такое целое число что

Здесь — целая часть числа х (если , где — целое число, то ).

Доказательство. Пусть С — окружность длины - фиксированная точка. Будем откладывать от точки А о дуги длин против часовой стрелки; тогда получим множество точек на окружности. Длина дуги, соединяющей точки (дуга ориентирована против часовой стрелки), равна Все точки множества М различны. Действительно, если при то

откуда следует, что — рациональное число. Фиксируем число и малое число Отложим от точки А о дуги длины и пусть А — дуга с этими концами. Покажем, что А содержит точки множества Выберем такое что Точки разбивают окружность на дуг. Длина хотя бы одной из них меньше т. е. меньше длины дуги А. Пусть это будет дуга для определенности. Рассмотрим точки Расстояние между точками равно и потому хотя бы одна из этих точек будет лежать внутри дуги А. Расстояние от этой точки до середины дуги А меньше

так что

Замечание 1. Из леммы 2 следует, что последовательность при иррациональном а всюду плотна на отрезке [0, 1], т. е. в любой сколь угодно малой окрестности любой точки лежат точки этой последовательности. Более того, последовательность равномерно распределена на отрезке Это означает следующее: пусть — любой отрезок, содержащийся в — его длина и — число точек последовательности, которые лежат на и номера которых не превосходят Тогда

Докажем, что может принимать значения сколь угодно близкие к единице; тем самым первое из соотношений (16) будет доказано. Представим в виде где — целое число, и выберем к в соответствии с (18). Тогда

где так что

и это значение может быть сколь угодно близким к единице. Аналогично доказывается утверждение (16) относительно нижней грани.

Замечание 2. Функция (см. (13)) с несоизмеримыми является почти периодической. Это означает, что для всякого существует такое, что в каждом интервале длины найдется число Т такое, что

Это число называется -почти периодом. Почти периодическая функция повторяет свои значения, но, в отлпчпе от периодической функции, с ошибкой.

Аналогичные утверждения справедливы и для суммы нескольких гармонических колебаний:

Пусть частоты рационально независимы,

т. е. не существует целых чисел не равных нулю одновременно и таких, что

Для двух частот их рациональная независимость эквивалентна несоизмеримости. В этом случае функция — непериодическая, но почти периодическая.

Пример 2. Рассмотрим функцию (13) в случае, когда и частоты близки, т. е. , где Функцию можно представить в виде

«Амплитуда» есть медленно меняющаяся функция, периодическая, с периодом Если то меняется в пределах от до

Рис. 6.

Множитель есть быстро меняющаяся функция; график функции см. на рис. 6; здесь Такая картина называется биениями; график функции называется огибающей. Этот физический термин совпадает с математическим понятием огибающей (гл. 2, § 11).

Можно рассматривать функцию например, как сумму звуковых полей двух излучателей с близкими частотами; — это значение звукового давления в фиксированной точке пространства в момент времени Если частоты высокие, то человеческое ухо не сможет услышать каждое из колебаний в отдельности, но услышит их огибающую — звук поочередно усиливается и ослабляется, т. е. человек услышит биения,

Пример 3. Рассмотрим уравнение

где Все решения однородного уравнения экспоненциально затухают при Но мы имеем дело с нёрезонанснйм случаем, так что уравнение (20) имеет частное решение вида

Поэтому всякое решение уравнения (18) при больших имеет вид

т. e. очень близко к периодической функции. В уравнении (20) член отвечает «трению» (§ 6), которое стремится уменьшить колебания. Правая часть есть периодическая сила, которая стремится раскачать колебания. Взаимодействие между трением и внешней силой приводит к установлению колебаний, близких к периодическим. Аналогичные примеры будут рассмотрены в гл. 3, § 12.

Пример. Найдем все вещественные решения уравнения

где — вещественные постоянные. Корня характеристического уравнения равны

так что всякое вещественное решение однородного уравнения имеет вид

Здесь — произвольные вещественные постоянные. Всякое вещественное решение неоднородного уравнения имеет вид

где частные решения уравнений

Так как корень характеристического уравнения кратности 1, то решение ищем в виде Подставим в уравнение. При вычислении производной у воспользуемся формулой Лейбница:

Отсюда находим Так как не является корнем характеристического уравнения, то решение возьмем в виде и из уравнения находим . Найдем так как — корень характеристического уравнения кратности 1, то . Подставим в уравнение, используя формулу Лейбница

Отсюда находим Так как — не корень характеристического уравнения, то возьмем в виде и из уравнения найдем Итак, все вещественные решения данного уравнения имеют вид