2. Задача с одним закрепленным и с одним подвижным концом.

Рассмотрим задачу об отыскании экстремумов функционала при условии

Экстремум ищется в классе функций Геометрическая интерпретация этой задачи такова: среди всех кривых которые выходят из точки и оканчиваются на прямой (рис. 43), найти те, которые дают экстремум функционалу . В этой постановке положение второго конца кривой не фиксируется.

Теорема 2. Пусть — экстремаль задачи (10) для функционала Тогда удовлетворяет уравнению Эйлера (8) и краевым условиям

Доказательство. Пусть — экстремаль, и пусть есть точка минимума, для определенности. Обозначим тогда — точка минимума

задачи с закрепленными концами Действительно, для любой кривой такой, что а любое, и потому это неравенство будет выполняться, если фиксировать Из теоремы 1 следует, что удовлетворяет уравнению Эйлера (8). Из (4) следует, что

Допустимые приращения — это функции класса такие, что в силу (10). Никаких условий на значение не налагается, и можно выбрать функцию так, чтобы Из условия

следует (11).