§ 5. Одномерное движение частицы в потенциальном поле
1. Рассмотрим одномерное уравнение Ньютона
Оно эквивалентно систем
которая имеет первый интеграл (§ 4)
Исследование фазовых траекторий системы свелось, таким образом, к исследованию семейства кривых, зависящего от параметра Е. На заданной траектории значение энергии Е можно найти из начальных условий: если то
Положения равновесия системы (2) — это точки вида где Фазовые траектории, отличные, от положений равновесия, - гладкие кривые, как показано в § 1. Можно проверить этот факт непосредственно: градиент левой части уравнения (3) равен и обращается в нуль только в положениях равновесия.
Соотношение (3) позволяет проинтегрировать уравнение Ньютона; именно, если то
значение Е указано выше.
Пусть потенциальная энергия имеет вид, изображенный на рис. 27. Будем предполагать, что функция дважды непрерывно дифференцируема при имеет только две точки где В этом случае имеются два положения равновесия и Так как (см. (3)), то движение с заданной полной энергией Е может происходить только в тех областях, где в данном примере — только на интервалах В точках, где имеем т. е.
точками поворота) и ее движение описывается уравнением
до того момента времени, пока она не придет в точку поворота После этого она поворачивает направо и т. д. Период Т колебаний частицы равен удвоенному времени, которое частица пробегает интервал т. е.
Напомним, что Фазовая траектория — замкнутая кривая, содержащая внутри себя положение равновесия и картина фазовых траекторий такая же, как и в случае центра (рис. 9).
2°. Пусть начальная точка лежит справа от точки поворота (рис. 27), и пусть Тогда движение частицы описывается соотношением
пока она не дойдет до точки поворота а в последующие моменты времени — уравнением
При имеем т. е. частица уходит на бесконечность (напомним, что ). Такое движение называется инфинитным. Аналогично, при и фазовая траектория — бесконечная незамкнутая кривая (рис. 27).
3°. Если энергия частицы то движение также будет инфинитным.
4°. Пусть Тогда частица будет совершать финитное движение, если и инфинитное, если Соответствующие фазовые траектории называются сепаратрисами (разделяющими); одна из них отделяет область финитных движений от области инфинитных движений.