§ 5. Одномерное движение частицы в потенциальном поле

1. Рассмотрим одномерное уравнение Ньютона

Оно эквивалентно систем

которая имеет первый интеграл (§ 4)

Исследование фазовых траекторий системы свелось, таким образом, к исследованию семейства кривых, зависящего от параметра Е. На заданной траектории значение энергии Е можно найти из начальных условий: если то

Положения равновесия системы (2) — это точки вида где Фазовые траектории, отличные, от положений равновесия, - гладкие кривые, как показано в § 1. Можно проверить этот факт непосредственно: градиент левой части уравнения (3) равен и обращается в нуль только в положениях равновесия.

Соотношение (3) позволяет проинтегрировать уравнение Ньютона; именно, если то

значение Е указано выше.

Пусть потенциальная энергия имеет вид, изображенный на рис. 27. Будем предполагать, что функция дважды непрерывно дифференцируема при имеет только две точки где В этом случае имеются два положения равновесия и Так как (см. (3)), то движение с заданной полной энергией Е может происходить только в тех областях, где в данном примере — только на интервалах В точках, где имеем т. е.

скорость частицы обращается в нуль; они называются точками остановки.

Рис. 27.

1°. Пусть начальная точка лежит на отрезке тогда лежит на этом отрезке при всех Такое движение называется финитным; частица колеблется между точками Пусть тогда при малых частица будет двигаться вправо от точки так что

при малых . В момент времени

частица придет в точку Заметим, что поскольку то при и интеграл сходится. Затем частица поворачивает налево (по этой причине точки остановки называются также

точками поворота) и ее движение описывается уравнением

до того момента времени, пока она не придет в точку поворота После этого она поворачивает направо и т. д. Период Т колебаний частицы равен удвоенному времени, которое частица пробегает интервал т. е.

Напомним, что Фазовая траектория — замкнутая кривая, содержащая внутри себя положение равновесия и картина фазовых траекторий такая же, как и в случае центра (рис. 9).

2°. Пусть начальная точка лежит справа от точки поворота (рис. 27), и пусть Тогда движение частицы описывается соотношением

пока она не дойдет до точки поворота а в последующие моменты времени — уравнением

При имеем т. е. частица уходит на бесконечность (напомним, что ). Такое движение называется инфинитным. Аналогично, при и фазовая траектория — бесконечная незамкнутая кривая (рис. 27).

3°. Если энергия частицы то движение также будет инфинитным.

4°. Пусть Тогда частица будет совершать финитное движение, если и инфинитное, если Соответствующие фазовые траектории называются сепаратрисами (разделяющими); одна из них отделяет область финитных движений от области инфинитных движений.

Структура траекторий в окрестности положения равновесия такая же, как и в случае седла (рис. 8, 27).

Пусть тогда частица будет двигаться вправо от точки и придет в точку бесконечное время. Действительно, это время дается формулой (5), где Если порядок касания кривой и прямой конечен, то

где и потому интеграл (5) расходится; тем более он расходится, если порядок касания бесконечен. Такое движение называется в механике лимитационным.