§ 3. Линейная зависимость и независимость функций и вектор-функций. Определитель Вронского

1. Понятия линейной зависимости и независимости.

Определение 1. Функции называются линейно зависимыми на интервале если существуют постоянные , не равные нулю одновременно и такие, что

В противном случае функции называются линейно независимыми на интервале 1.

Пример 1. Функции линейно независимы на любом интервале I.

Допустим противное; тогда существуют постоянные Со, не равные нулю одновременно и такие, что

Левая часть этого тождества — ненулевой многочлен степени не выше чем к. Такой многочлен имеет не более к различных корней. С другой стороны, все Точки интервала 1 (которых бесконечно много) — корни этого многочлена, в силу (2). Это возможно только тогда, когда все коэффициенты многочлена равны нулю. Мы пришли к противоречию, так как предполагали, что не все числа равны нулю.

Приведем другое доказательство. Дифференцируя тождество (2), получаем тождества

Из последнего соотношения находим, что из предпоследнего, — что так что

Пример 2. Пусть — различные числа. Тогда функции

линейно независимы любом интервале

Доказательство проведем по индукции. Пусть если при то . Пусть линейная независимость доказана для экспонент; совершим переход по индукции от . Допустим, что функции линейно зависимы, тогда

где не все постоянные с, равны нулю. Поделим это тождество на и затем продифференцируем по тогда получим тождество

где . По предположению индукции имеем и так как то Отсюда следует, что так что полученное противоречие доказывает наше утверждение.

Пример линейно зависимых функций: где с — постоянная; тогда

Определение 2. Вектор-функции называются линейно зависимыми на интервале если существуют постоянные не равные нулю одновременно и такие, что

В противном случае эти вектор-функции называются линейно независимыми,