3. Примеры.

Задачи вариационного исчисления приводят к так называемым краевым задачам для обыкновенных дифференциальных уравнений. Так, в простейшей задаче задаются значения на одном и на другом конце отрезка . Семейство решений уравнения второго порядка зависит от двух произвольных постоянных: и для их определения имеем два уравнения:

Здесь возможны самые различные варианты: задача может иметь одно решение, любое конечное число решений, бесконечно много решений или же может не иметь ни одного решения. Это связано с нелокальным характером задачи: краевые условия ставятся на разных концах отрезка который, вообще говоря, может быть «большим». Приведенные ниже примеры подтверждают эти рассуждения.

Рис. 43.

Пример 1. Будем искать наименьшее значение функционала

при условиях (2). Здесь — площадь поверхности, образованной вращением кривой вокруг оси х.

Воспользуемся замечанием к теореме 1; первый иптеграл (9) имеет вид

откуда находим

Интегрируя это уравнение, находим

Такие кривые называются цепными линиями.

Выберем для простоты концы кривой симметричными относительно оси у, т. е. рассмотрим краевую задачу

Тогда параметр С определяется из краевого условия

Очевидно, что так как то функция на полуоси достигает наименьшего значения: и нетрудно проверить, что точка минимума единственна. Следовательно, при уравнение имеет два решения где

Имеем

Пусть — полученная функция, тогда

так что наименьшее значение функционала может достигаться только при Проверку того, что функция

есть точка минимума, придется отложить до 2

§ 9, в котором приведены достаточные условия экстремума. При уравнение имеет единственное решение, и соответствующая цепная линия дает наименьшее значение функционала.

Если то уравнение не имеет решений, так что наименьшее значение функционала не может достигаться в классе функций из . Этот факт нетрудно объяснить в случае, когда Наименьшее значение площади поверхности вращения будет достигаться на ломаной с вершинами , т. е. поверхность вращения состоит из двух кругов радиусов А с центрами в точках и из отрезка оси х.

Пример 2. Пусть в плоскости распространяются световые лучи, скорость света равна и положительна. Получим уравнения лучей света. Из принципа Ферма (§ 1) следует, что лучи света — экстремали функционала

(предполагается, что лучи задаются уравнениями

При выводе уравнений Эйлера удобно ввести величину которая называется коэффициентом преломления. Здесь — значение скорости в некоторой фиксированной точке Имеем

Уравнение Эйлера имеет вид

и окончательно получаем уравнение световых лучей в виде

Пример 3. Пусть скорость с не зависит от х. Сменим обозначения, заменив у на и ось направим вниз, как это принято в физике земли и в физике океана. Уравнение (13) примет вид

так что

Пусть — глубина — поверхность океана), — скорость звука; в реальных задачах она может не быть монотонной функцией глубины (рис. 44). Этот пример рассмотрен в [10].

Рис. 44.

Пусть излучатель звука расположен в точке положим Пусть луч выходит из точки О под углом тогда и соотношение (14) принимает вид

Это уравнение было исследовано в гл. 4, § 5. График функции заключен в полосе — периодическая функция х с периодом

Таким образом, пучок лучей с углами выхода фиксировано, будет расположен в полосе если полоса II называется волноводом.