§ 5. Доказательство основной теоремы. Теорема существования и единственности для уравнений n-го порядка
1. Доказательство основной теоремы.
В § 1 мы свели задачу Коши для системы из 
уравнений к системе интегральных уравнений
где 
интегральный оператор:
В дальнейшем будет систематически применяться
Лемма. Если 
непрерывная при 
вектор-функция, то справедливо неравенство
Доказательство. Имеем
так как 
Правая часть этого неравенства не зависит от номера 
беря максимум по 
от левой части, получаем оценку (3).
Применим к уравнению (1) принцип сжатых отображений. Пусть П — параллелепипед 
целиком содержащийся в области 
(рис. 11). Обозначим
Рассмотрим меньший параллелепипед 
, где 
будет указано ниже. В качестве банахова пространства В выберем 
т. е. пространство непрерывных на отрезке 
вещественнозначных вектор-функций 
, с нормой
В качестве М возьмем множество вектор-функций 
таких, что 
Это множество ограничено, так 
для всех 
. Множество М замкнуто, так как 
где 
то предельная вектор-функция 
, и, кроме того, 
с 
так что 
.
Итак, остается проверить, что оператор А, определяемый формулой (2), сжимает М, если 
достаточно мало.
1°. Покажем, что если 
достаточно мало, то 
. Пусть 
. Тогда вектор-функция 
ее 
как интеграл (2) от непрерывной на этом отрезке вектор-функции 
является
ется непрерывной вектор-функцией. Далее,
так что
Если
имеем 
.
2°. Покажем, что если 
достаточно мало, то
где 
для любых 
Пусть 
. Имеем в силу леммы 2, § 4 (параллелепипед 
— выпуклое множество)
Беря максимум 
от обеих частей неравенства, получаем
где 
Если 
где 
фиксированное число, 
то неравенство (5), выполняется.
Итак, мы доказали, что если 
таково, что
то оператор А сжимает М. Применяя принцип сжатых отображений, получаем, что уравнение 
имеет решение 
непрерывное на отрезке 
и притом единственное. В § 1 было показано (см. лемму), что отсюда следует теорема существования и единственности
