2. Квазилинейные уравнения.

Рассмотрим квазилинейное уравнение (см. § 1)

и покажем, что его интегрирование сводится к отысканию первых интегралов характеристической системы

Предположение. Функции

и) непрерывно дифференцируемы в области в этой области.

Будем искать функцию такую, что если и — решение уравнения (3), то

Из этого тождества находим

и, подставляя в уравнение (5), получаем

Уравнение (7) имеет тот же вид, что и уравнение (2), и потому всякое его решение есть функция от независимых первых интегралов системы (4). Следовательно, всякое решение уравнения (3) определяемся

из уравнения

где — некоторая (гладкая) функция.

Пример 5. (уравнение Хопфа). Характеристическая системам

первые интегралы Всякое решение задается уравнением

Если это уравнение можно разрешить относительно и, то

Этот пример будет подробно проанализирован в § 4.