3. Криволинейные координаты.

Пусть — декартовы координаты в — область в Сделаем гладкую обратимую замену переменных в области (соответственно — см. (3), Уравнение определяет гиперповерхность, в силу теоремы 3; гиперповерхности называются координатными. В частности, на плоскости уравнения си определяют семейство кривых (координатную сетку):

Выясним, как преобразуются при замене переменных скалярные и векторные поля. Пусть точка ее координаты равны

где связаны соотношением (3) (или (4)), Значение

функции определенной в области обозначим и в координатах в координатах у. Очевидно, что и так что

Это и есть представление функции в координатах у.

Возьмем точку близкую к точке Р, и обозначим ее координаты соответственно. Имеем

И 8 непрерывности вектор-функции следует, что если так что

где — матрица Якоби, и потому

этой формулы следует, что - бесконечно малые одного порядка, т. е. что существуют постоянные такие, что

если достаточно мал.

Пусть — ортонормированный базис, базисные векторы имеют своим началом точку Р, так что

В силу (11) это же приращение можно записать в виде

Введем векторы с началом в точке Р:

тогда

Таким образом с точностью до бесконечно малых

высшего порядка по сравнению с приращение одинаково записывается и в базисе и в базисе Линейная независимость векторов следует из (12) и из того, что . Базис называется локальным базисом; локальные базисы различны, вообще говоря, в различных точках (рис. 14).

Рис. 14.

Пусть в области задано векторное поле т. е. в каждой точке задан вектор

или, что то же, задана вектор-функция При переходе к криволинейным координатам у будем записывать координаты вектора в локальном базисе т. е.

Установим связь между вектор-функциями Имеем из (14)

так что

Эту формулу можно записать в виде

Здесь — матрица Якоби, а связаны соотношением (4). Формула (15) показывает, как преобразуется векторное поле при переходе к криволинейным координатам.

Рассмотрим систему из уравпепий

и сделаем в ней замену переменных тогда система примет вид

Здесь есть вектор-функция с компонентами. Выясним связь между . Имеем

так что вектор-функции связаны соотношением (15).

Матрица Якоби и скалярной функции и называется градиентом функции и обозначается Градиент — это вектор-строка (§ 9):

Выясним, как преобразуется градиент при замене переменных. Пусть , тогда (§ 9, (21))

и окончательно получаем

Замечание 4. При выводе предыдущих формул предполагалось, что координаты декартовы. Можно проверить, что все формулы из остаются в силе, когда - криволинейные координаты.