2. Зоны устойчивости и неустойчивости.

Различные физические и технические задачи приводят к уравнениям второго порядка, содержащими вещественный параметр вида

или

Здесь — вещественная -периодическая функция. К уравнению вида (12) приводит, например, задача о движении квантовомеханической частицы в периодической кристаллической решетке, к уравнению вида (13) — задачи о распространении электромагнитных или звуковых волн в средах с периодическими свойствами.

Физическая постановка задачи приводит к условию: решение должно быть ограничено на всей оси Это условие не может выполняться на полуоси вида (за исключением очевидного случая который мы далее не рассматриваем). По определению, точка кг принадлежит зоне устойчивости, если все решения уравнения (12) (или ограничены при и принадлежит зоне неустойчивости в противном случае. Из вида решений (2а) следует, что точка принадлежит зоне устойчивости, если

Действительно, в этом случае, в силу (3),

и потому решения и все их линейные комбинации ограничены на всей оси х. Если же то точка принадлежит зоне неустойчивости. Пусть для определенности (напомним, что тогда из (3) имеем

Фиксируем точку такую, что тогда при и решение не является ограниченным.

К сожалению, единственный пример интегрируемого уравнения вида (12) или (13), где — элементарная функция, есть уравнение с кусочно постоянной функцией Но даже в этом случае анализ зон устойчивости неустойчивости оказывается весьма сложным. Проще всего этот анализ проводится в примере, принадлежащем П. Дираку [52].

Рассмотрим уравнение

где постоянная и есть дельта-функция Дирака (§ 12). Функция входящая в уравнение (15), называется дираповской потенциальной гребенкой На интервале всякое решение уравнения (15) имеет вид

где А, В — постоянные. Будем искать решение такое, что (см. (3)), так что

при . В точке должны выполняться условия (§ 12)

и мы получаем систему уравнений относительно неизвестных А, В:

Система имеет нетривиальное решение тогда и только тогда, когда ее определитель равен нулю, и это дает уравнение для мультипликаторов

При выводе этого уравнения следует помнить, что свободный член обязательно равен коэффициенту при так как Решая уравнение, находим

Зоны устойчивости определяются из условия в этом случае

. Если же , то при при и точка принадлежит зоне неустойчивости. Можно проверить, что если то точка принадлежит зоне неустойчивости. Итак, зоны устойчивости определяются неравенством

Если построить график функции то границами зон устойчивости будут абсциссы точек пересечения графика с прямыми Поэтому зоны устойчивости и неустойчивости чередуются.

Если то некоторый интервал вида будет зоной неустойчивости, так как при малых к имеем Покажем, что существует бесконечно много зон устойчивости и неустойчивости. Точки экстремума функций определяются из уравнения

Из сравнения графиков этих функций видно, что уравнение имеет бесконечно много корней, вида где при Подставляя их в уравнение, получаем

Так как при , то и мы получаем асимптотику корней уравнения (1):

Из этой формулы и (18) находим

так что при . Поэтому существует бесконечно много зон устойчивости и неустойчивости. Так как при то ширина зоны неустойчивости (эти зоны называют также лакунами) стремится к нулю при Пусть — лакуна, содержащая точку Положим где положительные бесконечно малые. Имеем из (19), (20)

так что Такую же асимптотику имеет величина так что ширина лакуны равна

Вычислим асимптотику мультипликаторов, отвечающих зоне неустойчивости. Пусть — тот из мультипликаторов, модуль которого больше единицы. Из формулы (16) следует, что максимум при достигается в точке и из (20) находим

Так как мало отличается от единицы при то это означает, что с ростом номера зоны неустойчивость проявляется все слабее.

Аналогично устроены зоны устойчивости и неустойчивости для уравнения (12).

Теорема. Пусть — непрерывная вещественная апериодическая функция, Тогда на полуоси имеется бесконечно много зон неустойчивости а дополнительные к ним интервалы суть зоны устойчивости. Ширина зоны неустойчивости стремится к нулю при

Если функция имеет непрерывных производных, то

Доказательство теоремы и этой формулы см. в [48].

Одним из наиболее полно исследованных уравнений с периодическими коэффициентами является уравнение

Матье:

В последние годы были исследованы конечнозонные потенциалы . Это такие периодические функции что уравнение (12) имеет конечное число протяженных зон неустойчивости (т. е. интервалов), а все остальные зоны неустойчивости вырождаются в точки. Для конечно-зонных потенциалов получены явные выражения.