§ 2. Функции от матриц и однородные линейные системы с постоянными коэффициентами

1. Матричная экспонента.

Рассмотрим задачу Коши для линейной однородной системы из уравнений

с постоянными коэффициентами. Сведем эту задачу к системе интегральных уравнений

и применим метод последовательных приближений:

Вычисляя последовательные приближения, получаем

В § 1 доказано, что последовательность равномерно сходятся к решению задачи Коши (1), (2) на любом отрезке I. Поэтому решение имеет вид

где введено естественное обозначение

Матрица-функция называется матричной экспонентой и обладает рядом свойств скалярной экспоненты. Справедливы формулы 1°.

Докажем Решение системы (1) с данными Коши имеет вид По теореме единственности где — решение системы (1) с данными Коши Имеем

так что и 1 следует из того, что вто тождество справедливо для любого вектора Свойство 2° следует из Далее,

так как решение системы (1). Поскольку это тождество справедливо для любого вектора то первое из равенств доказано; второе следует из перестановочности матриц А и

Матричная экспонента бесконечно дифференцируема на всей оси — так как всякое решение системы (1) обладает этим свойством.

Рассмотрим ряд из матричных функций порядка

Этот ряд называется сходящимся (абсолютно сходящимся, равномерно сходящимся), если все ряды из компонент матриц

сходятся (абсолютно сходятся, равномерно сходятся). Абсолютная сходимость ряда (4) в точке эквивалентна сходимости ряда из норм:

а равномерная сходимость ряда (4) на интервале I эквивалентна сходимости ряда из норм в

Доказываются эти факты точно так же, как и для рядов из вектор-функций (гл. 2, § 2). Теоремы из анализа о дифференцирований и интегрировании функциональных рядов справедливы и для матричных рядов. Ряд (3) для матричной экспоненты сходится абсолютно на всей оси х и равномерно на любом конечном отрезке что следует из доказательства теоремы существования и единственности.