3. Уравнение Бесселя.

Это уравнение вида

Его решения называются функциями Бесселя порядка . В уравнении — постоянное (вообще говоря, комплексное) число; мы будем считать вещественным. Функции Бесселя — столь же частые гости в задачах физики и механики, сколь синусы и косинусы.

С помощью подстановки уравнение (6) приводится к виду

которое называется приведенным уравнением Бесселя В частности, при функции являются решениями уравнения Бесселя (23). Свойства функций Бесселя во многом схожи со свойствами тригонометрических функций.

Уравнение Бесселя имеет особенность при и эта точка — регулярная особая.

Найдем решения уравнения Бесселя. Будем искать решение в виде

где . Проделаем все выкладки формально, а затем проверим, что полученные ряды сходятся и удовлетворяют уравнению. Подставляя (24) в (23) и приравнивая нулю коэффициенты при степенях х, получаем бесконечную

систему уравнений

Так как то из первого уравнения находим . Пусть . Положим Тогда , т. е. все . Далее,

откуда находим

Итак, мы получили решение

В силу тождеств для гамма-функции Эйлера

можно записать в виде

Аналогично, полагая получаем при нецелом

При и целом формула (25) непригодна, так как знаменатель может обратиться в бесконечность, и в этом случае второе линейно независимое решение содержит

Пусть нецелое. Тогда ряды (25), (25) сходятся при всех х (по признаку Даламбера). Наконец, решения линейно независимы, так как при

Общепринято следующее обозначение:

так что при нецелом образуют фундаментальную систему решений уравнений Бесселя.

Если — целое число, то одним из решении будет функция Бесселя а второе решение можно построить с помощью формулы (13). Это решение содержит

В гл. 7, § 3 мы исследуем поведение функций Бесселя при Функциям Бесселя посвящена обширная математическая литература.