§ 11. Уравнения с периодическими коэффициентами

1. Теория Флоке — Ляпунова.

Рассмотрим однородное линейное дифференциальное уравнение второго порядка

коэффициенты которого непрерывные периодические с периодом функции:

Теория обыкновенных линейных дифференциальных уравнений и систем была разработана Г. Флоке и А. М. Ляпуновым. Основу этой теории, применительно к уравнению (1), составляет

Теорема Флоке — Ляпу но в а. Уравнение (1) с периодическими коэффициентами имеет фундаментальную систему решений либо вида

либо

Здесь — периодические с периодом функции, — постоянные.

Решения вида (2а) обладают следующим свойством:

т. е. при сдвиге на период решение умножается на постоянную Числа называются характеристическими показателями, а числа называются мультипликаторами и связаны с соотношениями

Лемма. Если решение уравнения (1), то также будет его решением.

Действительно, заменяя на в уравнении (1) и учитывая периодичность коэффициентов получаем

Докажем теорему. Пусть — фундаментальная матрица уравнения (1):

Тогда матрица — фундаментальная. Действительно, функции — решения уравнения (1). Определитель этой матрицы равен где -вронскиан решений и потому не обращается в нуль. Следовательно (§ 5)

где С — постоянная невырожденная матрица. Возможны два варианта

А. Матрица С приводится к диагональному виду, т. е. существует невырожденная матрица Т такая, что

Положим тогда матрица — фундаментальная и Следовательно,

Числа отличны от нуля, так как матрица С невырождена. Введем числа по формулам (4) и положим . Тогда

т. е. — периодические с периодом со функции, и решения имеют вид (2а). Числа определяются не однозначно, а с точностью до слагаемого

В. Матрица С приводится к жордановой нормальной форме, т. е. существует матрица Т такая, что

Тогда для матрицы выполняется тождество откуда следует, что

Отсюда, как и в случае А, следует, что

где есть -периодическая функция. Полагая получаем

Рассмотрим функцию

где — постоянная. Имеем

так что функция будет — периодической, если Следовательно,

Умножив решение на и обозначив получим второе из решений (26).

Следствие 1. Мультипликаторы являются корнями уравнения

где — фундаментальная матрица уравнения (1).

Действительно, мультипликаторы — собственные значения матрицы С (см. (5)), т. е. корни уравнения . Полагая в тождестве (5), получаем и уравнение (6) для .

В частности, мультипликаторы не зависят от выбора фундаментальной матрицы

Следствие 2. Справедливо тождество

Доказательство. Пусть — фундаментальная матрица уравнения (1) и ее вронскиан. Уравнение (6) имеет вид

так что и из формулы Лиувилля (§ 7, (11)) следует (7).

Следствие 3. Если коэффициенты уравнения (1) вещественны, то мультипликаторы либо вещественны, либо комплексно сопряжены:

В этом случае матрицу можно выбрать вещественной, и квадратное уравнение (6) будет иметь вещественные коэффициенты.

Рассмотрим более подробно один из наиболее важных классов уравнений второго порядка:

Теорема. Пусть — вещественная апериодическая функция. Тогда возможны два варианта расположения мультипликаторов уравнения (9) на комплексной плоскости

1°. Оба мультипликатора вещественны и образуют пару

2°. Оба мультипликатора лежат на единичной окружности и образуют пару вещественно.

Доказательство. Если один из мультипликаторов веществен, то имеет место случай силу соотношения Пусть тогда и так как то откуда следует 2°.

Рассмотрим систему из уравнений

Теорема Флоке — Ляпунова. Пусть элементы матрицы-функции -непрерывные периодические с периодом о функции. Тогда всякая фундаментальная матрица системы (9) имеет вид

Здесь В — постоянная матрица, элементы матрицы периодичны по х с периодом .

Наметим доказательство (подробнее см. [28]). Те же рассуждения, что и выше, приводят к тождеству (5), где С — постоянная невырожденная Поэтому существует матрица В такая, что Положим тогда

есть периодическая с периодом матрица-функция.