2. Принцип суперпозиции.

Будем предполагать, что функции непрерывны, функции

раз непрерывно дифференцируемы на некотором интервале Всюду в дальнейшем

Лемма 1. Если — постоянные, то

Это свойство называется линейностью оператора Доказательство. Так как — постоянные, то

Умножая обе части на и суммируя полученные выражения при к получаем (5).

Теорема 1. 1°. Принцип суперпозиции. Если — решения однородного уравнения то их линейная комбинация

при любых постоянных является решением однородного уравнения.

2°. Если решения неоднородного уравнения (2), то их разность

есть решение однородного уравнения (4).

Доказательство. 1°. Применяя лемму 1, получаем

2°. По условию,

так что, в силу линейности оператора

Свойство 2° можно сформулировать иначе.

3°. Всякое решение неоднородного уравнения (1) есть сумма частного (т. е. фиксированного) решения неоднородного уравнения и некоторого решения однородного уравнения.

Действительно, пусть — фиксированное (частное) решение уравнения (1), — произвольное решение этого уравнения. Тогда

где — решение однородного уравнения, в силу 2°.