2. Принцип суперпозиции.
Будем предполагать, что функции
непрерывны, функции
раз непрерывно дифференцируемы на некотором интервале
Всюду в дальнейшем
Лемма 1. Если
— постоянные, то
Это свойство называется линейностью оператора
Доказательство. Так как
— постоянные, то
Умножая обе части на
и суммируя полученные выражения при к
получаем (5).
Теорема 1. 1°. Принцип суперпозиции. Если
— решения однородного уравнения
то их линейная комбинация
при любых постоянных
является решением однородного уравнения.
2°. Если
решения неоднородного уравнения (2), то их разность
есть решение однородного уравнения (4).
Доказательство. 1°. Применяя лемму 1, получаем
2°. По условию,
так что, в силу линейности оператора
Свойство 2° можно сформулировать иначе.
3°. Всякое решение неоднородного уравнения (1) есть сумма частного (т. е. фиксированного) решения неоднородного уравнения и некоторого решения однородного уравнения.
Действительно, пусть
— фиксированное (частное) решение уравнения (1),
— произвольное решение этого уравнения. Тогда
где
— решение однородного уравнения, в силу 2°.