§ 2. Дифференциальные уравнения первого порядка

1. Теорема существования и единственности.

Рассмотрим обыкновенное дифференциальное уравнение (ОДУ) первого порядка

Здесь правая часть — заданная функция, х — независимое переменное, — неизвестная функция.

ОДУ вида (1) называется уравнением в нормальной форме, или уравнением, разрешенным относительно производной. Дело в том, что общий вид ОДУ первого порядка следующий:

Такие уравнения будут рассмотрены в гл. 2.

Поставим следующую задачу: найти решение уравнения (1) такое, что

где — заданные числа. Задача (1), (2) называется задачей Коши. Условия (2) называются начальными данными или данными Коши.

Пусть — решение уравнения (1) на интервале оси х. График этой функции (т. е. кривая ) называется интегральной кривой уравнения (1). Задачу Коши можно сформулировать так: найти интегральную кривую уравнения (1), проходящую через заданную точку (рис. 1).

Рис. 1.

Фундаментальным результатом теории обыкновенных дифференциальных уравнений является следующая теорема.

Теоремц существования и единственности. Пусть функция и частная производная непрерывны в некоторой области плоскости точка лежит в Тогда

1°. Существование. В некоторой окрестности точки существует решение задачи Коши (1), (2).

2°. Единственность. Если два решения задачи Коши (1), (2), то в некоторой окрестности точки

Эта теорема имеет простую геометрическую интерпретацию. Если условия теоремы (непрерывность в выполнены, то:

через каждую точку области проходит интегральная кривая, и притом только одна.

Область таким образом, расслаивается на интегральные кривые (рис. 1).

Доказательство теоремы существования и единственности будет приведено в гл. 2, § 1. Прокомментируем эту теорему.

1°. Уравнение (1) имеет бесконечно много решений; семейство решений зависит от одного параметра. Действительно, если фиксировать и взять данные Коши вида то полученные решения будут различны при различных значениях

2°. Теорема гарантирует существование решения только в малой окрестности точки т. е. за малое «время» х. Это по существу, так как решение задачи Коши (1), (2) может за конечное время уйти в бесконечность.

Уравнение (1) имеет следующую геометрическую интерпретацию. Если интегральная кривая проходит через точку то угловой коэффициент касательной равен к Проведем через каждую точку области прямую с угловым коэффициентом ); тогда получим поле направлений. Интегральные кривые уравнения (1) обладают тем свойством, что в каждой своей точке касаются поля направлений. Верно и обратное: если кривая в каждой своей точке касается поля направлений, то она является интегральной кривой.

Уравнение (1) можно формально записать в виде

Мы будем использовать обе формы записи: (1) и (1), а также рассматривать уравнения вида

Выражение называется дифференциальной формой первого порядка.

Замечание 1. В уравнении (1) переменные х, у неравноправны: х — независимое переменное, у — функция от х. Но во многих задачах, приводящих к уравнению (1), переменные равноправны. Поэтому необходимо расширить понятие интегральной кривой. Будем называть гладкую функцию решением уравнения (1), а ее график — интегральной кривой, если выполняется уравнение (1):

В частности, интегральной прямой может быть вертикальная прямая . В самом общем виде определение

интегральной кривой выглядит так. Пусть кривая 4 задана параметрическими уравнениями: Тогда у называется интегральной кривой уравнения (1), если выполняется уравнение т. е.

Рассмотрим несколько типов уравнений первого порядка, которые интегрируются в квадратурах. Основное внимание будет уделено приемам интегрирования. Свойства решений и структуру интегральных кривых, как правило, исследовать не будем.

Если не делается никаких оговорок, то все функции, входящие в уравнения, предполагаются гладкими, т. е. непрерывно дифференцируемыми.