2. Случай простых корней.

Рассмотрим многочлен

который называется характеристическим многочленом уравнения (1). Как известно из алгебры, многочлен

разлагается на множители

где — корни уравнения

которое называется характеристическим для уравнения (1).

Теорема 1. Пусть корни характеристического уравнения различны. Тогда всякое решение уравнения (1) имеет вид

где — постоянные, и всякая функция вида (7) есть решение уравнения (1).

Доказательство. Оператор разлагается в произведение линейных сомножителей

Действительно, многочлен разлагается на множители (см. (5)), а многочлены от символа перемножаются но тем же правилам, что и многочлены от Я.

Разложение (8) позволяет свести интегрирование уравнения порядка (1) к интегрированию уравнений первого порядка. Применим индукцию; при теорема доказана в § 4. Совершим переход по индукции от Представим в виде

и положим Тогда для получим уравнение всякое решение которого имеет вид

по предположению индукции. Здесь — постоянные. Мы получили уравнение первого порядка относительно у с правой частью — квазимногочленом, причем не совпадает с . Решение однородного уравнения есть , где — произвольная постоянная, а неоднородное уравнение имеет частное решение Тем самым доказано, что всякое решение уравнения (1) имеет вид (7). Проверим, что всякая функция вида (7) удовлетворяет уравнению

(1). Имеем

Так как то , а потому функции и любые их линейные комбинации — решения уравнения (1).