ГЛАВА 5. УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
В предыдущих главах рассматривались дифференциальные уравнения относительно неизвестной функции (или вектор-функции), которая зависит только от одной переменной. Пусть неизвестная функция зависит от двух или более переменных: 
Уравнение вида
называется уравнением с частными производными первого порядка. Интегрирование таких уравнений сводится к интегрированию систем обыкновенных дифференциальных уравнений — это будет показано в данной главе.
§ 1. Некоторые задачи, приводящие к уравнениям 1-го порядка с частными производными
1. Уравнения поверхностей.
Рассмотрим в трехмерном пространстве поверхность 
, образованную вращением около оси 
кривой расположенной в плоскости 
Уравнение этой поверхности имеет вид
Функцию 
будем предполагать достаточно гладкой. Продифференцируем уравнение (1) по 
откуда находим соотношение
Мы получили уравнение с частными производными 1-го порядка относительно неизвестной функции 
График решения — поверхность 
в пространстве 
называется интегральной поверхностью уравнения (2).
есть окружность с центром в начале координат. Действительно, рассмотрим кривую 
на плоскости 
Если точка 
то вектор 
ортогонален к вектору 
а потому коллинеарен вектору 
Вектор 
направлен по нормали к кривой I в точке 
так как 
линия уровня функции 
Следовательно, нормаль к кривой I в любой ее точке направлена по радиусу-вектору 
а потому I есть окружность с центром в точке 
.
так что все такие поверхности полностью описываются уравнением с частными производными (2). Таким образом, всякое решение уравнения (2) дается формулой (1), где 
— произвольная функция. Семейство решений уравнения (2) зависит от произвольной функции. Это утверждение справедливо для всех уравнений с частными производными первого порядка.
— уравнение поверхности вращения, ось которой направлена вдоль прямой 
то функция 
удовлетворяет уравнению
