§ 10. Уравнения первого порядка, не разрешенные относительно производной

1. Задача Коши.

Рассмотрим дифференциальное уравнение первого порядка

Предположение. Функция вещественна и непрерывно дифференцируема в некоторой области пространства

В дальнейшем Уравнение

определяет, вообще говоря, некоторую поверхность в трехмерном пространстве.

Уравнение (1) — первого порядка, но для того, чтобы выделить единственное решение, недостаточно задать

Пример 1. Уравнение имеет два семейства решений , и через каждую точку плоскости проходят две интегральные кривые (рис. 15). Это происходит по той причине, что если задано значение то тем самым задано (хотя и неоднозначно) значение так как и из этого уравнения определяется одно или более значений Поэтому задача Коши ставится так: найти решение уравнения (1), удовлетворяющее условиям

где связаны соотношением

Рис. 15.

Теорема 1. Пусть выполнено условие

Тогда решение задачи Коши (1), (3) существует и единственно на некотором интервале .

Доказательство. В силу теоремы о неявной функции из уравнения (2) можно локально выразить через где функция непрерывно дифференцируема в окрестности точки единственна и . Тем самым мы получаем задачу Коши

существование и единственность которой установлены в § 1.

Интегральные кривые уравнения (1) удобнее изображать не на плоскости а в пространстве Именно, это кривые, заданные уравнениями

где лежащие на поверхности . В примере состоит из плоскостей и одно из семейств интегральных кривых лежит на скости другое на плоскости

Множество точек на , в которых условие (4) теоремы 1 нарушено, задается уравнениями

Из этой системы можно, вообще говоря, исключить и мы получим соотношение

Кривая, определенная этим уравнением, называется дискриминантной кривой. Ее ветви могут быть решениями уравнения (1); соответствующие достаточные условия довольно сложны, и в конкретных задачах проще исследовать эту кривую непосредственно.

Пример 2. Рассмотрим уравнение Исключая из соотношений получаем дискриминантную кривую Решим уравнение:

Функция также решение, и эта кривая касается семейства парабол (рис. 16, а).

Рис. 16.

Пример 3. Уравнение имеет решения (это семейство полукубических парабол) Из уравнений находим дискриминантную кривую так что дискриминантная кривая есть геометрическое место особых точек интегральных кривых.

Окрестности точек на в которых условие (4) нарушено, неоднозначно (или негладко) проектируются на плоскость . В примере 2, есть параболический цилиндр: его проекция дважды покрывает полуплоскость — одпа его точка не проектируется на дополнительную полуплоскость (рис. 16, б).