3. Интегрирование уравнений вида (1).

Одним из наиболее мощных методов интегрирования является метод введения параметра или, как его еще называют, интегрирование посредством дифференцирования. Суть метода состоит в следующем.

1. Вводится новая переменная (параметр) по формуле

При этом переменные рассматриваются как функции от

2. Полученное уравнение дифференцируется по х или по у.

Поясним замену переменной (11). Пусть функция дважды непрерывно дифференцируема на интервале и строго выпукла кверху или книзу, так что при Тогда производная строго монотонна на интервале и из уравнения переменная х определяется однозначно: значения лежат в интервале Далее, так что кривая задана параметрически:

Замена переменной имеет простой геометрический смысл. Пусть выполнены сформулированные выше условия; тогда кривая Г: строго выпукла (кверху или книзу). Величина есть тангенс угла наклона касательной к кривой Г в точке Из строгой выпуклости кривой Г следует, что наклоны касательных в различных точках кривой Г различны. Поэтому задание углового коэффициента касательной однозначно определяет при точку кривой Г.

Приведем основные типы интегрируемых уравнений вида (1).

Уравнения, не содержащие х или у. Пусть уравнение (1) не содержит х:

Если можно выразить у через то мы получаем уравнение с разделяющимися переменными. Допустим, что можно выразить у через так что уравнение принимает вид

Положим тогда Дифференцируя это соотношение по х:

окончательно получаем параметрическое представление интегральной кривой

Допустим, что уравнение кривой задано в параметрической форме

Дифференцируя первое из этих соотношений по имеем

и мы получим параметрическое представление интегральной кривой

Пусть уравнение (1) не содержит переменной у:

и из уравнения можно выразить х через

Так как то семейство решений имеет вид

Если кривая задана параметрически:

то, продифференцировав первое из уравнений по получим

откуда найдем параметрическое представление интегральных кривых

Пример 7. Решим уравнение

где — постоянная. Полагая получаем

Возьмем знак плюс в этом равенстве и продифференцируем по х:

откуда находим, что либо либо

Интегральные кривые задаются уравнениями

Возводя эти равенства в квадрат и складывая, получаем уравнение

которое определяет семейство окружностей радиуса а с центрами, расположенными на оси х. Выбор знака минус в формуле для у приводит к этому же уравнению.

Если то мы получаем два решения , которые касаются данного семейства окружностей. Следовательно, решения — особые.

Пример 8. Решим уравнение

Кривая задается параметрически уравнениями

Дифференцируя первое уравнение по получаем

откуда находим

2°. Однородные уравнения. Пусть — однородная функция степени отпосительпо у:

Тогда уравнение (1) можно записать в виде

Если выражается через то мы получаем однородное уравнение (гл. 1, § 2). Пусть выражается через

Дифференцируя это уравнение по х, получаем

Выбирая в качестве независимого переменного, получаем уравнение относительно х с разделяющимися переменными

так что решения имеют вид

Пример 9. Решим уравнение

Имеем

Дифференцируя по у, получаем

Исключая из соотношений

получаем семейство решений

Выясним, есть ли в данном случае особые решения. Найдем дискриминантную кривую, исключив из

уравнений

Из второго уравнения находим и подставляя в первое, получаем Следовательно, данное уравнение не имеет особых решений.

3°. Уравнение Лагранжа. Если функция линейна по переменным то уравнение (1) приводится к виду

и называется уравнением Лагранжа.

Дифференцируя уравнение по , получаем

так что

Это уравнение — линейное неоднородное. Найдя из этого уравнения и подставив в исходное, получим С); тем самым получено параметрическое представление семейства решений. Кроме того, если

то имеется решение

и соответствующая интегральная кривая есть прямая.

Случай является исключительным и будет рассмотрен ниже.

Пример 10. Решим уравнение

Дифференцируя по х тождество получаем

Итак, имеется семейство решений

Кроме того, возможен случай которому отвечает решение Выясним, имеются ли в дапном случав

особые решения. Найдем дискриминантную кривую, исключив из уравнений

так что Эта функция не является решением, так что особых решений нет.

Исследуем интегральные кривые. Пусть кривая задана параметрически: где — гладкие функции. Точка на кривой может быть особой только тогда, когда (в противном случае в этой точке имеется ненулевой касательный вектор к кривой). В данном случае критические значения определяются из системы

откуда находим Все эти точки расположены на параболе

так как при имеем

Эта парабола — дискриминантная кривая. Исключительным является значение если , то при а при значения конечны. При интегральная кривая — парабола В:

Можно не сомневаться в том, что именно эти две выделенные кривые во многом определяют структуру семейства интегральных кривых.

Покажем, что все интегральные кривые лежат в области под параболой А. Действительно, так что

Так как величина вещественна, то

Исследуем поведение интегральной кривой вблизи точки Положим тогда при малых

получим

Следовательно, локально кривая состоит из двух ветвей — одна при вторая при с общей касательной, так как при и потому есть точка возврата. В данном примере дискриминантная кривая есть мпожество особых точек интегральных кривых.

Уравнение (14) определяет две кривые, при значениях параметра Функции имеют следующее асимптотическое поведение при и при

Все интегральные кривые бесконечные, оба конца кривой уходят на бесконечность (т. е. вдоль кривой). Имеются следующие типы интегральных кривых.

1. . Кривая лежит в квадранте (под параболой и имеет точку возврата Вблизи этой точки имеются две ветви кривой, одна из которых лежит выше другой. Верхняя ветвь асимптотически приближается к правой ветви параболы нижняя — к верхней ветви параболы

Интегральная кривая не имеет особых точек и потому является гладкой, В силу (15) имеем

Поэтому один конец кривой асимптотически приближается к левой ветви параболы второй — к нижней ветви параболы

Интегральная кривая не имеет особых точек и потому является гладкой. В силу (15) имеем

Поэтому один конец кривой асимптотически приближается к нижней ветви параболы второй — к правой ветви параболы

Интегральная кривая имеет точку возврата и лежит в квадранте Одна из ее ветвей асимптотически приближается к левой ветви параболы другая — к нижней ветви параболы

Выше мы употребили не вполне определенный термин «кривая асимптотически приближается к другой кривой». В данном контексте смысл этого термина совершенно четкий. Именно, парабола параметрически задается уравнениями Из сравнения этой формулы с уравнениями (14) следует, что

так что ветвь интегральной кривой неограниченно сближается с правой ветвью параболы при То же самое справедливо для парабол

В этом примере можно найти уравнение семейства интегральных кривых в виде если в уравнение подставить найденное выше выражение через х, у. Тогда уравнение примет вид

Если избавиться от корня , то получится уравнение шестой степени относительно

Но, разумеется, значительно проще исследовать параметрические уравнения (14), чем последнее уравнение.

Пример 11. Решим уравнение

Этот поучительный пример приведен в [46]. Имеем

Одно решение отвечает значению так что остальные решения имеют вид

так что интегральные кривые — полукубические параболы

Интегральная кривая имеет точку возврата . Найдем дискриминантную кривую. Исключая из

исходного уравнения и уравнения , получаем, что дискриминантная кривая состоит из двух прямых;

Прямая есть геометрическое место точек возврата и не является решением. Прямая решение и в каждой точке касается одной из интегральных кривых. Действительно, полагая в уравнении интегральной кривой, получаем

Следовательно, решение особое.

4е. Уравнение Клеро. Это уравнение (12) при

Полагая и дифференцируя соотношение по получаем

В случае имеем семейство прямых

В случае получаем интегральпую кривую

которая, вообще говоря, является особым решением.

Пусть функция дважды непрерывно дифференцируема на интервале Для определенности будем считать, что Тогда функция строго монотонно возрастает при из уравнения можно однозначно выразить через х как гладкую функцию: Функция также будет гладкой, в силу (18). Прямая, заданная уравнением (17), касается интегральной кривой в точке

Следовательно, определенная уравнением (18) интегральная кривая есть огибающая семейства решений потому является особым решением.

Пример 12. Решим уравнение

Имеется семейство прямых

и особое решение

Возведем каждое из этих уравнений в степень 2/3 и сложим, тогда получим уравнение

Эта кривая называется астроидой.

Уравнение Клеро возникает в таких геометрических задачах, в которых ищется плоская кривая по каким-либо свойствам ее касательных, не зависящих от положения точки касания. Если — уравнение искомой кривой, то уравнение касательной есть что приводит к соотношению между функциями и т. е. к уравнению Клеро.

Пример 13. Найти такую кривую, что произведение расстояний от двух заданных точек до любой касательной к кривой есть величина постоянная.

Направим ось вдоль отрезка начало координат поместим в середину отрезка; тогда

Расстояния от точек до касательной (ее уравнение написано выше) в точке равны так что

где — заданное произведение расстояний от точек до касательной. Получаем два уравнения Клеро

решения которых имеют вид

Исключая параметр получаем особое решение — эллипс

которое и дает нетривиальное решение задачи. Случай, когда у — линейная функция, малоинтересен, так как касательные к прямой совпадают с ней самой.

Структура семейства интегральных кривых уравнения (1) вблизи точки достаточно проста и описывается теоремой 1, если эта точка не лежит на дискриминантной кривой. Уравнение Клеро (точнее, его решения) описывает структуру семейства решений уравнения (1) вблизи дискриминантной кривой в простейших (и в то же время основных) случаях. Пусть

так что точка лежит на дискриминантной кривой. Будем предполагать, что — гладкая поверхность (она задается уравнением Достаточное условие для этого таково (§ 9, теорема 3): если Без ограничения общности можно считать, что

и пусть Исследуем поверхность вблизи этой точки. Разлагая функцию до степеням

получаем

где многоточием обозначены члены третьего и более высокого порядка малости, а значения всех частных производных берутся в начале координат. Упростим уравнение, отбрасывая члены третьего и высших порядков малости, а также слагаемые, содержащие малые по сравнению с у; тогда получим уравнение

Заменой переменных

можно убрать слагаемые, содержащие Тогда получим уравнение

Предположим, что

Ясно, что это случай «общего положения». Тогда, делая замену получаем (тильды над переменными опущены) уравнение Клеро

Это уравнение получено при следующих предположениях: в точке

Выше были приведены нестрогие соображения, но можно строго доказать, что если условия (19) выполнены, то с помощью гладкой обратимой замены переменных можно привести уравнение к виду

в малой окрестности точки

5°. Преобразование Лежандра. Пусть на интервале задана гладкая фуйкция Введем

новую переменную X и новую функцию У по формулам

Это и есть преобразование Лежандра — отображение пар

Если функция дважды непрерывно дифференцируема и при то, как было показано в п. 3, соответствие между взаимно однозначно и — гладкая функция X.

Найдем обратное преобразование. Положим тогда

так что Далее, и обратное преобразование дается формулами:

Поэтому с помощью преобразования Лежандра можно перевести любое из уравнений

в другое. Если одно из этих уравнений интегрируется, то интегрируется и другое.

Пример 14. Решим уравнение

Сделаем преобразование Лежандра

тогда получим уравнение

так как Это уравнение однородно, и его решения имеют вид

Дифференцируя по получаем

Следовательно, решения исходного уравнения имеют вид

откуда находим

Здесь С — произвольная постоянная, так как исходное уравнение имеет решение .

Преобразование Лежандра имеет следующую геометрическую интерпретацию. Пусть Г: строго выпуклая гладкая кривая. Она задается как множество точек на плоскости. Проведем все касательные к кривой Г; тогда Г — огибающая семейства этих прямых. Итак, имеются два способа задания кривой на плоскости.

1. Кривая задается как множество точек на плоскости.

2. Кривая задается как огибающая семейства прямых. Преобразование Лежандра — это переход от одного способа задания кривой к другому. Действительно, уравнение касательной к Г в точке имеет вид

так что пара чисел однозначно определяет точку Сравнивая с формулой (20), видим, что эта пара есть , т. е. преобразование Лежандра пары

6°. Задача о траекториях. Пусть имеется семейство кривых на плоскости, зависящих от параметра С. Требуется построить кривые (они называются траекториями), которые пересекают каждую кривую данного семейства под заданным углом а. При траектории называются ортогональными, при а — изогональными. Если, например, кривые семейства — силовые линии некоторого силового поля, то ортогональные траектории эквипотенциальные линии.

Эту задачу удобно решать, если семейство кривых задано уравнением вида (1). Пусть семейство кривых задано уравнением (8)

Покажем, как получить для этого семейства уравнение вида (1). Продифференцируем тождество (8) по считается функцией от тогда получим

Исключив С из соотношений получим соотношение т. е. уравнение вида (1). Оно называется дифференциальным уравнением семейства, Пусть угол наклона касательной в некоторой точке к кривой семейства и к траектории соответственно. Тогда

Заменив в уравнении семейства велпчпну на получим дифференциальное уравнение семейства изогональных траекторий

Уравнение семейства ортогональных траекторий имеет вид

Пример 15. Найдем ортогональные траектории семейства парабол

Исключая С из системы

получаем дифференциальное уравнение семейства и затем уравнение ортогональных траекторий

Следовательно, ортогональными траекториями являются эллипсы

Пример 16. Найдем ортогональные траектории семейства

Его дифференциальное уравнение есть , уравнение ортогональных траекторий есть

так что ортогональные траектории — кривые

При это семейство эллипсов, при семейство гипербол. В частности, при получаем ортогональные семейства равнобочных гипербол

Пример 17. Рассмотрим конфокальное семейство кривых второго порядка

где Фокусы этих кривых расположены в точках Исключая С из данного уравнения и уравнения

находим дифференциальное уравнение семейства

Если заменить на то это уравнение не изменится. Следовательно, данное семейство софокусных кривых второго порядка образует ортогональную систему.

Пусть тогда семейство существует при Если , то кривые являются софокусными гиперболами, ортогональное семейство — софокусные эллипсы. Если — то кривые семейства — эллипсы, ортогональные кривые — гиперболы. При значениях кривые второго порядка вырождаются.

Пр им Найдем изогональные траектории семейства прямых Дифференциальные уравнения семейства есть уравнение траекторий есть

Переходя к полярным координатам получаем

Здесь — произвольная постоянная. Изогональные траектории — логарифмические спирали орто тональные траектории — окружности ,