§ 10. Линейные системы с постоянными коэффициентами. Случай кратных корней

1. Жорданова нормальная форма матрицы.

В § 8 были найдены все решения однородной линейной системы с постоянными коэффициентами в случае, когда матрица системы А имела различные собственные значения. Такие матрицы приводятся к диагональному виду, и этот факт сыграл основную роль при интегрировании системы. Если же матрица А имеет кратное собственное значение, то ее не всегда можно привести к диагональному виду. Пример. Матрицу

нельзя привести к диагональному виду (ее собственные значения равны . Действительно, допустим противное; тогда существует -матрица Т такая, что диагональная матрица. Матрица

нулевая, так как ее диагональные элементы равны собственным значениям матрицы А. Поэтому так что и мы пришли к противоречию.

Простейшая форма, к которой приводится произвольная квадратная матрица, есть так называемая жорданова нормальная форма, к описанию которой мы приступаем. Матрица вида

называется жордановым блоком. Эта матрица имеет единственное собственное значение X кратности , где k — порядок матрицы Найдем ее собственные векторы, решив систему т. е.

Отсюда следует, что — любое, т. е. матрица имеет единственный (с точностью до множителя) собственный вектор (все векторы-столбцы). На остальные базисные векторы: матрица действует так:

Определение. Набор векторов называется жордановой цепочкой матрицы А, если

Вектор — собственный, векторы называются присоединенными. Векторы образуют жорданову цепочку жорданова блока

Теорема о приведении матрицы к жордановой нормальной форме. Для любой матрицы А существует матрица Т такая, что

Здесь жордановьг блоки порядков

и собственные значения матрицы

Матрица, стоящая в правой части равенства (3), называется нормальной жордановой формой матрицы А. Жордановы блоки выстроены вдоль главной диагонали.

Нормальная жорданова форма матрицы А определяется единственным образом, с точностью до перестановки жордановых блоков.

Доказательство см. в [40, 41]. Приведем другую формулировку этой теоремы.

Теорема. Пусть А — произвольная квадратная матрица порядка Тогда существует базис, состоящий из жордановых цепочек

Эти цепочки отвечают собственным значениям матрицы А; действие матрицы А на векторы цепочки описывается формулой (2).

Возникает естественный вопрос. Дана матрица А; как найти ее жорданову нормальную форму? Например, если дана матрица порядка и известно, что она имеет единственное (собственное) значение X кратности 3, то ее жорданова нормальная форма может иметь один из трех видов:

Какой же именно? Ответ на этот вопрос известен: читатель может найти его в [40].

В гл. 4 нам понадобится следующий результат.

Теорема о приведении матрицы к почти диагональному виду. Всякую -матрицу А можно привести к почти диагональному виду, т. е. существует матрица Т такая, что

Здесь А — диагональная матрица, элементами которой являются (все) собственные значения матрицы , а для элементов матрицы Вв имеет место оценка I где может быть выбрано сколь угодно малым. Доказательство. Выберем матрицу Р такую, что

где — нормальная жорданова форма матрицы А. Рассмотрим жорданов блок

Пусть

где — порядок матрицы Тогда

Положим тогда

Рассмотрим матрицу

Тогда, по правилу умножения блочных матриц,

где — диагональная матрица с элементами , а

или . В качестве Т возьмем матрицу Тогда

Теорема доказана.

2. Интегрирование системы. Рассмотрим систему из уравнений:

где А — постоянная матрица. Эта система полностью интегрируется. Рассмотрим вначале систему из к уравнений

где — жорданов блок вида (1). В покомпонентной

записи эта система имеет вид

Решим эту систему «снизу вверх». Имеем Далее, что, в силу теоремы 1, § 4,

Аналогично получаем

Следовательно, всякое решение системы (6) дается формулой

где — произвольные постоянные, а решения имеют вид

Все решения системы (5) строятся следующим образом.

1°. По каждой жордановой цепочке матрицы А строится набор решений по формуле (7).

2°. Решение системы (5) есть линейная комбинация всех построенных решений с произвольными постоянными коэффициентами.

Наметим доказательство этого факта. После подстановки где матрица Т приводит матрицу А к жордановой нормальной форме, система (5) принимает вид

Эта система распадается на отдельных подсистем

где есть вектор-столбец высоты а каждая из этих подсистем интегрируется так же, как и система (6). Пример. Рассмотрим систему

Собственные значения матрицы А этой системы равны Собственный вектор определяется из системы т. е.

откуда следует, что и собственный вектор только один (с точностью до множителя): . Поэтому имеется присоединенный вектор который определяется из системы Для компонент вектора получаем систему

и вектор можно взять в виде . По формуле (7) строим решения

и всякое решение системы имеет вид

или, в покомпонентной записи,

Здесь — произвольные постоянные.

Сделаем еще несколько замечаний о системах вида (5), в случае кратных сооственных значении матрицы А.

Пусть все различные собственные значения кратностей Всякое решение системы (5) имеет вид

Здесь есть вектор-функция, компоненты которой — многочлены от х степени не выше чем Это следует из того, что длина жордановой цепочки, отвечающей собственному значению не может быть больше чем (а может быть только короче, так одному и тому же собственному значению может отвечать несколько жордановых цепочек). Как видно из формулы (7), соответствующие решения имеют вид где компоненты вектор-функции — многочлены степени не выше, чем длина жордановой цепочки минус единица.

Случай кратных корней значительно сложнее случая простых корней, но, по счастью, кратные корни — исключения, а не правило. Поясним это на примере -матрицы А с вещественными элементами. Ее характеристическое уравнение имеет вид

где — вещественные постоянные. На плоскости параметров каждому такому уравнению отвечает точка, а уравнениям, корни которых совпадают, отвечает парабола Ясно, что точку можно сдвинуть с параболы за счет сколь угодно малого изменения чисел (или что то же, за счет сколь угодно малого изменения элементов матрицы А). Полученная матрица уже будет иметь простые собственные значения.

С точки зрения вычислительной, приведение матрицы к жордановой нормальной форме есть неустойчивая операция. Действительно, на ЭВМ можно найти собственные значения только с вполне определенной точностью. Поэтому можно утверждать с уверенностью лишь то, что два собственных значения различны, если у них не совпадают некоторые десятичные знаки. Проверить же, что они равны, нельзя, и потому очень близкие собственные значения воспринимаются ЭВМ как равные. В силу этого, в случаях, когда имеются очень близкие (возможно, равные) собственные значения, матрицу приводят не к жордановой нормальной форме, а к какой-либо иной (например, к треугольной).