§ 2. Линейные нормированные пространства

Коротко напомним понятие линейного пространства которые мы считаем известным из курса линейной алгебры. Множество В называется линейным пространством, если для любых его элементов х, у определена сумма и для любого и вещественного (или комплексного) числа а определено произведение со следующими свойствами:

3. Существует нулевой элемент . В такой, что для всех

Определение 1. Линейное пространство В называется нормированным, если каждому элементу поставлено в соответствие вещественное число (норма обладающее следующими свойствами;

Приведем примеры линейных нормированных пространств.

1. Числовая прямая Здесь

2. -мерное евклидово пространство Элементами являются векторы норма определяется так:

3. -мерное пространство с нормой

Всюду в дальнейшем употребляется последнее определение нормы вектора.

4. Пространство Элементами являются функции непрерывные на отрезке , и

5. Пространство Элементами этого пространства являются вектор-функции непрерывные на отрезке , с нормой

или, более подробно,

В примере 4 функции могут быть как вещественнозначными, так и комплекснозначными. Свойства пространства которые будут установлены ниже, одни и те же в обоих случаях. Это же замечание относится и к примеру 5.

В примере длина вектора — расстояние между точками х и у. Точно так же можно интерпретировать в любом линейном нормированном пространстве В, как «длину» вектора х и как «расстояние между точками х и у», соответственно. Поэтому

можно ввести в линейном нормированном пространстве те понятия, которые вводятся в с помощью понятия расстояния.

Пусть В — линейное нормированное пространство. Множество называется ограниченным, если существует такое, что для всех .

По определению, в пространстве В, если Так как для нормы справедливы те же оценки, что и для модуля, то следующие свойства пределов доказываются точно так же, как и для числовых последовательностей в анализе:

если существуют пределы

В примере сходимость эквивалентна сходимости каждой из компонент: при всех . В пространстве сходимость — это равномерная сходимость последовательности на отрезке Действительно, по определению сходимости в имеем

а это есть одно из определений равномерной сходимости последовательности . В пространстве сходимость — это равномерная сходимость на отрезке для каждой из компонент: при

Последовательность называется фундаментальной, если

Определение 2. Линейное нормированное пространство называется полным, если всякая фундаментальная последовательность является сходящейся.

Полное линейное нормированное пространство называется банаховым пространством в честь польского математика С. Банаха.

Все пространства в примерах являются банаховыми пространствами.

Докажем полноту пространства Если функциональная последовательность является фундаментальной, то

В силу критерия Коши последовательность равномерно сходится на отрезке к некоторой непрерывной функции в пространстве Аналогично доказывается полнота пространства

Наконец, несколько слов о рядах. Ряд называется сходящимся, если сходится последовательность его частичных сумм Как и в анализе, доказывается следующий признак сходимости:

Если ряд сходится по норме, т. е. сходится ряд то этот ряд сходится.

Введем понятие оператора.

Определение 3. Пусть каждому элементу где М — подмножество банахова пространства В, поставлен в соответствие элемент Тогда мы скажем, что задан оператор А.

Множество М называется областью определения оператора А.