§ 4. Линейные и нелинейные волны

Поведение решений задачи Коши для линейных и квазилинейных уравнений существенно различается. Покажем это на примере линейного уравнения

где — постоянная, и квазилинейного уравнения

Зададим одни и те же данные Коши:

Здесь — гладкая финитная (т. е. равная нулю вне некоторого отрезка) функция.

1°. Всякое решение уравнения (1) имеет вид (§ 2, пример так что решение задачи Коши имеет вид

Постоянная с имеет размерность скорости — см/с; и действительно, с есть скорость распространения возмущений. График функции и получается из графика функции сдвигом на расстояние (рис. 39), т. е. функция и — волна, бегущая направо со скоростью с.

Аналогично, решение задачи Коши для однородного линейного уравнения

также есть бегущая волна. Скорость в точке в момент времени равна

2°. Всякое решение уравнения Хопфа (2) дается формулой (§ 2, пример 5), так что решение задачи Коши (2), (3) имеет вид

Приведем качественную картину распространения волны. Значение — это скорость движения волны в точке . В начальный момент эта скорость максимальна в точке на гребне волны (рис. 40). В последующие моменты времени точки на профиле волны, лежащие левее вершины Р, будут отставать от Р, а точка Р будет «догонять» точки профиля, лежащие правее.

Рис. 39.

Рис. 40.

Поэтому задний фронт волны станет более пологим, а передний станет более крутым. Наконец, в некоторый момент времени на переднем фронте появится точка с вертикальной касательной, а в последующие моменты времени функция станет неоднозначной. Неоднозначная функция не имеет физического смысла в такого рода задачах (например, в задачах газовой динамики). Физические соображения приводят к необходимости рассмотрения разрывного (при решения уравнения (2), и при график решения имеет изображенный на рис. 40

вид. Положение разрыва определяется по «правилу площадей»: заштрихованные площади равны. Разрывное решение называется ударной волной.

Задача 1. Показать, что

при

Задача 2. Найти если Самопроизвольное возникновение разрывов (ударных волн) при гладких начальных данных — эффект типично нелинейный.

Многие важнейшие уравнения с частными производными, возникающие в самых различных областях физики, обладают решениями типа плоских волн. Отыскание этих решений сводится к интегрированию обыкновенных дифференциальных уравнений. Пусть функция удовлетворяет автономному уравнению вида

Левая часть этого уравнения не содержит явно независимых переменных Будем искать решение уравнения (6) в виде плоской волны

где — неизвестная функция, с неизвестная постоянная. Полагая получаем обыкновенное дифференциальное уравнение для функции

Если это уравнение имеет решение ограниченное при всех , то уравнение (6) имеет решение типа бегущей волны. Рассмотрим несколько классических примеров уравнений вида (6).

1. Уравнение Хопфа (2) не имеет решений типа бегущей волны. Действительно, для получаем уравнение

так что

2. Уравнение Бюргерса

где — постоянная. Для функции получаем уравнение

где А — постоянная. Запишем это уравнение в виде

Будем предполагать, что числа вещественны и различны, так что и тогда Поставим граничное условие тогда

и искомое решение равно

Числа произвольны (должно; только выполняться условие так что мы получили двупараметрическое семейство решений. Профиль бегущей волны — «гладкая ступенька»: эта функция монотонно убывает от значения до значения . Нетрудно видеть, что если то стремится к ступеньке

Скорость бегущей волны

Уравнение Бюргерса отличается от уравнения Хопфа добавочным членом — (вязкость), который препятствует возникновению разрывов (ударных волн).

3. Уравнение Кортевега — де Фриза

Классическая форма записи этого уравнения такова:

Это уравнение приводится к виду (9) с помощью замены

Будем искать решение уравнения (9) в виде плоской волны (4); тогда для получим уравнение

Интегрируя, получаем уравнение

которое совпадает с уравнением (26) из гл. 4, § 5. В данном случае

Пусть имеет место случай 2, т. е. уравнение имеет двукратный корень и простой корень так что . Тогда

и решение равно

где обозначено Заметим, что уравнение (9) имеет решение которое называется стационарным. Поэтому удобно ввести новые функции и переменные

Профиль волны имеет единственную точку максимума значение в которой равно а. Будем интерпретировать а как амплитуду волны. При высота профиля стремится к нулю с экспоненциальной скоростью. Такое решение называется уединенной (солитарной) волной или солитоном. Скорость волны у пропорциональна ее амплитуде — типично нелинейный эффект (ср. с уравнением (1)). Из формулы (10) видно, что чем больше а, тем меньше окрестность точки в которой профиль заметно отличен от нуля. При нормированный профиль стремится к функции

4. Уравнение сайн-Гордона

Для функции получаем уравнение

которое совпадает с уравнением колебаний маятника (гл. 4, § 5).

5. Нелинейное волновое уравнение Гейзенберга

Для функции получаем уравнение

которое является частным случаем уравнения Дуффинга (гл. 4, § 5, . Интегрируя, получаем

где — произвольные постоянные.

Пусть решений нет), тогда и полученный интеграл выражается через эллиптические функции Якоби:

Отсюда находим