ГЛАВА 1. МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

§ 1. Общие понятия, примеры

Обыкновенным дифференциальным уравнением называется уравнение вида

Здесь — известная функция, х — независимое переменное, неизвестная функция. Порядком дифференциального уравнения называется наивысший порядок производной неизвестной функции входящей в уравнение. Функция называется решением (или интегралом) дифференциального уравнения (1), если она раз непрерывно дифференцируема на некотором интервале I и при удовлетворяет уравнению.

Пример 1. Пусть — непрерывная на интервале функция, — ее первообразная. Тогда

и для отыскания первообразной мы получили обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка. Его решения известны:

где С — произвольная постоянная.

Дифференциальное уравнение (2) имеет бесконечно много решений — и это верно для всех обыкновенных дифференциальных уравнений. Чтобы выделить единственное решение уравнения (2), достаточно задать значение первообразной в какой-либо точке, например, Тогда решение единственно и равно

Основные элементарные функции являются решениями обыкновенных дифференциальных уравнений.

Пример 2. Тригонометрические функции — решения уравнения

что проверяется непосредственно. Функция удовлетворяет, очевидно, условиям

а функция — условиям

В дальнейшем будет доказано, что решение уравнения (3), удовлетворяющее условиям (4) (или (4)) единственно. Поэтому функцию можно оцределить как решение уравнения (3), удовлетворяющее условиям (4); аналогично можно ввести функцию Из этого определения можно вывести все свойства синуса и косинуса.

К обыкновенным дифференциальным уравнениям приводят многие задачи естествознания.

Пример 3. Движение материальной точки массы под действием внешних сил описывается вторым законом Ньютона — Пусть точка движется по оси — ее абсцисса в момент времени Тогда функция удовлетворяет обыкновенному дифференциальному уравнению второго порядка:

Пусть точка движется в трехмерном пространстве и —ее радиус-вектор. Тогда

Это соотношение — система из трех обыкновенных дифференциальных уравнений с тремя неизвестными функциями

Чтобы определить положение точки в момент времени необходимо, как известно из механики, знать ее положение и скорость в некоторый начальный момент времени Так, чтобы выделить единственное решение

уравнения Ньютона (5), необходимо задать начальные данные

Если задачу об отыскании всех решений дифференциального уравнения удается свести к вычислению конечного числа интегралов и производных от известных функций и к алгебраическим операциям, то говорят, что уравнение интегрируется в квадратурах. К сожалению, класс таких уравнений крайне узок. Например, уравнение Ньютона (5) при произвольной правой части интегрируется только тогда, когда сила зависит только от одной из переменных т. е. уравнение имеет один из видов

Уравнение Риккати

в случае, когда интегрируется в квадратурах только тогда, когда где — целое число или (этот факт доказал Лиувилль, 1841 г.)

Дифференциальные уравнения, которые интегрируются в квадратурах, никогда не могли удовлетворить потребностей естествознания. Поэтому для исследования дифференциальных уравнений широко применяются приближенные и численные методы их решения; первые такие методы создал еще Ньютон.

Задача теории обыкновенных дифференциальных уравнений — исследование общих свойств решений и развитие точных, асимптотических и численных методов интегрирования дифференциальных уравнений.