Главная > Обыкновенные дифференциальные уравнения
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
441
442
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

ГЛАВА 1. МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

§ 1. Общие понятия, примеры

Обыкновенным дифференциальным уравнением называется уравнение вида

Здесь — известная функция, х — независимое переменное, неизвестная функция. Порядком дифференциального уравнения называется наивысший порядок производной неизвестной функции входящей в уравнение. Функция называется решением (или интегралом) дифференциального уравнения (1), если она раз непрерывно дифференцируема на некотором интервале I и при удовлетворяет уравнению.

Пример 1. Пусть — непрерывная на интервале функция, — ее первообразная. Тогда

и для отыскания первообразной мы получили обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка. Его решения известны:

где С — произвольная постоянная.

Дифференциальное уравнение (2) имеет бесконечно много решений — и это верно для всех обыкновенных дифференциальных уравнений. Чтобы выделить единственное решение уравнения (2), достаточно задать значение первообразной в какой-либо точке, например, Тогда решение единственно и равно

Основные элементарные функции являются решениями обыкновенных дифференциальных уравнений.

Пример 2. Тригонометрические функции — решения уравнения

что проверяется непосредственно. Функция удовлетворяет, очевидно, условиям

а функция — условиям

В дальнейшем будет доказано, что решение уравнения (3), удовлетворяющее условиям (4) (или (4)) единственно. Поэтому функцию можно оцределить как решение уравнения (3), удовлетворяющее условиям (4); аналогично можно ввести функцию Из этого определения можно вывести все свойства синуса и косинуса.

К обыкновенным дифференциальным уравнениям приводят многие задачи естествознания.

Пример 3. Движение материальной точки массы под действием внешних сил описывается вторым законом Ньютона Пусть точка движется по оси — ее абсцисса в момент времени Тогда функция удовлетворяет обыкновенному дифференциальному уравнению второго порядка:

Пусть точка движется в трехмерном пространстве и —ее радиус-вектор. Тогда

Это соотношение — система из трех обыкновенных дифференциальных уравнений с тремя неизвестными функциями

Чтобы определить положение точки в момент времени необходимо, как известно из механики, знать ее положение и скорость в некоторый начальный момент времени Так, чтобы выделить единственное решение

уравнения Ньютона (5), необходимо задать начальные данные

Если задачу об отыскании всех решений дифференциального уравнения удается свести к вычислению конечного числа интегралов и производных от известных функций и к алгебраическим операциям, то говорят, что уравнение интегрируется в квадратурах. К сожалению, класс таких уравнений крайне узок. Например, уравнение Ньютона (5) при произвольной правой части интегрируется только тогда, когда сила зависит только от одной из переменных т. е. уравнение имеет один из видов

Уравнение Риккати

в случае, когда интегрируется в квадратурах только тогда, когда где целое число или (этот факт доказал Лиувилль, 1841 г.)

Дифференциальные уравнения, которые интегрируются в квадратурах, никогда не могли удовлетворить потребностей естествознания. Поэтому для исследования дифференциальных уравнений широко применяются приближенные и численные методы их решения; первые такие методы создал еще Ньютон.

Задача теории обыкновенных дифференциальных уравнений — исследование общих свойств решений и развитие точных, асимптотических и численных методов интегрирования дифференциальных уравнений.

1
Оглавление
email@scask.ru