§ 5. Нелинейные уравнения

1. Характеристики.

Рассмотрим нелинейное уравнение с частными производными первого порядка

относительно неизвестной функции Обозначим

Будем для простоты предполагать, что функция дважды непрерывно дифференцируема во всем пространстве и что не все частные производные обращаются в нуль одновременно. Решением уравнения (1) называется дважды непрерывно дифференцируемая функция удовлетворяющая уравнению.

Пусть — решение уравнения (1); обозначим Дифференцируя уравнение (1) по получаем

так как этот и последующих формулах Рассмотрим систему

и пусть ее решение. Вдоль соответствующей фазовой траектории все будут функциями так как Имеем

так что, в силу (2),

Далее, вдоль имеем

Объединяя (3) и (4), получаем систему из дифференциальных уравнений

которая называется характеристической (для уравнения Ее фазовые траектории называют характеристиками уравнения (1); они расположены в -мерном фазовом пространстве Вдоль характеристик, в силу (5), имеем

Ниже будет показано, что интегрирование уравнения (1) сводится к интегрированию системы обыкновенных дифференциальных уравнений (6).