§ 7. Устойчивость положения равновесия линейной системы

Рассмотрим линейную однородную систему из уравнений

с постоянными комплексными коэффициентами. Эта система имеет положение равновесия Так как система (1) интегрируется, то вопрос об устойчивости этого положения равновесия полностью исследован.

Теорема. Положение равновесия системы (1) асимптотически устойчиво тогда и только тогда, когда вещественные части всех собственных значений матрицы А отрицательны.

Доказательство. Пусть — собственные значения матрицы и при всех Построим функцию Ляпунова Как показано в § 10, гл. 1, для любого существует матрица приводящая матрицу А к почти диагональному виду

Здесь — диагональная матрица с диагональными элементами — такая матрица, что при всех . После подстановки система (1) примет вид

Функцию Ляпунова возьмем в виде

Эта функция положительно определена в любой окрестности точких (§ 6, пример 2). Имеем

(выражаем через у из системы (2))

Первое из этих слагаемых равно

так как

Оценим модуль выражения, стоящего в квадратных скобках. Так как то

Мы использовали неравенство Такая же оценка справедлива для второго слагаемого в квадратных скобках.. Следовательно,

Выберем так, чтобы было тогда из (4) следует, что функция отрицательно определена, и положение равновесия асимптотически устойчиво.

Пусть матрица А имеет собственное значение такое, что Тогда система (1) имеет решение

где — собственный вектор, отвечающий собственному значению Имеем

Так как то не стремится к нулю при и положение равновесия не будет асимптотически устойчивым.

Следствие 1. В условиях теоремы существует функция Ляпунова которая является положительно определенной квадратичной формой и

где можно выбрать сколь угодно малым.

Оценка (6) следует из (3), (4). Далее, так что (см. (2))

— квадратичная форма. Так как форма положительно определена, то где — постоянная (§ 5, (4)), и из (6) следует оценка

Из следствия 1 и теоремы 2 § 6 вытекает Следствие 2. Пусть вещественные части всех собственных значений матрицы А отрицательны и — решение системы (1) с данными Коши Тогда

где показатель — тот же, что и в (6).

Итак, положение равновесия системы (1) асимптотически устойчиво, если все и неустойчиво, если хотя бы для одного собственного значения . В последнем случае для решения (5) имеем

Остается исследовать случай, когда при всех и имеются чисто мнимые собственные значения; обозначим их . В зависимости от структуры жордановой нормальной формы матрицы А положение равновесия будет либо устойчивым по Ляпунову, либо неустойчивым. Именно, устойчивость будет в том случае, если отсутствуют жордановы блоки порядка отвечающие чисто мнимым собственным значениям (в частности, если — простые собственные значения). В противном случае имеется неустойчивость. Пусть, например, чисто мнимому собственному значению отвечает жорданов блок порядка тогда система (1) имеет решение вида (гл. 1, § 10)

где — постоянные векторы. При имеем

Замечание. Сформулированную выше теорему можно было бы доказать, используя явный вид решения

и явный вид матрицы (гл. 2, § 2). Но ценность приведенного доказательства состоит в том, что та же самая функция Ляпунова позволяет исследовать устойчивость положения равновесия нелинейной системы (см. § 8).

Это же замечание относится и к нижеследующим построениям. Именно, пусть матрица А имеет собственное значение с положительной вещественной частью: Докажем неустойчивость положения равновесия построив функцию Четаева (§ 6). Выберем матрицу Г, приводящую матрицу А к нижнему треугольному виду так, чтобы в матрице последний диагональный элемент был равен Тогда уравнение для отделяется;

и функцию Четаева возьмем в виде

Имеем

В качестве области указанной в теореме Четаева, возьмем область Так как то где — постоянные (вообще говоря, комплексные), и граница Г области задается уравнениями

Так как Т содержит точку при на Г, то все условия теоремы Четаева выполнены.

Характеристическое уравнение, отвечающее системе (1), имеет вид

Пусть все элементы матрицы А вещественны; тогда все числа вещественны. В этом случае можно, не решая уравнение установить, лежат ли все его корни

ни в левой полуплоскости комплексной плоскости Именно, справедлив [33].

Критерий Рауса — Гурвица. Пусть все коэффициенты уравнения (11) вещественны и Для того чтобы все корни уравнения (11) имели отрицательные вещественные части, необходимо и достаточно, чтобы все определители

были положительны.

Здесь при