Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше
Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике
Оценка (6) следует из (3), (4). Далее,
так что (см. (2))
— квадратичная форма. Так как форма
положительно определена, то
где
— постоянная (§ 5, (4)), и из (6) следует оценка
Из следствия 1 и теоремы 2 § 6 вытекает Следствие 2. Пусть вещественные части всех собственных значений матрицы А отрицательны и
— решение системы (1) с данными Коши
Тогда
где показатель
— тот же, что и в (6).
Итак, положение равновесия
системы (1) асимптотически устойчиво, если все
и неустойчиво, если
хотя бы для одного собственного значения
. В последнем случае для решения (5) имеем
Остается исследовать случай, когда
при всех
и имеются чисто мнимые собственные значения; обозначим их
. В зависимости от структуры жордановой нормальной формы матрицы А положение равновесия
будет либо устойчивым по Ляпунову, либо неустойчивым. Именно, устойчивость будет в том случае, если отсутствуют жордановы блоки порядка
отвечающие чисто мнимым собственным значениям (в частности, если
— простые собственные значения). В противном случае имеется неустойчивость. Пусть, например, чисто мнимому собственному значению
отвечает жорданов блок порядка
тогда система (1) имеет решение вида (гл. 1, § 10)
где
— постоянные векторы. При
имеем
Замечание. Сформулированную выше теорему можно было бы доказать, используя явный вид решения
и явный вид матрицы
(гл. 2, § 2). Но ценность приведенного доказательства состоит в том, что та же самая функция Ляпунова позволяет исследовать устойчивость положения равновесия нелинейной системы (см. § 8).
Это же замечание относится и к нижеследующим построениям. Именно, пусть матрица А имеет собственное значение
с положительной вещественной частью:
Докажем неустойчивость положения равновесия
построив функцию Четаева (§ 6). Выберем матрицу Г, приводящую матрицу А к нижнему треугольному виду так, чтобы в матрице
последний диагональный элемент был равен
Тогда уравнение для
отделяется;
и функцию Четаева возьмем в виде
Имеем
В качестве области
указанной в теореме Четаева, возьмем область
Так как
то
где
— постоянные (вообще говоря, комплексные), и граница Г области
задается уравнениями
Так как Т содержит точку
при
на Г, то все условия теоремы Четаева выполнены.
Характеристическое уравнение, отвечающее системе (1), имеет вид
Пусть все элементы матрицы А вещественны; тогда все числа
вещественны. В этом случае можно, не решая уравнение
установить, лежат ли все его корни
ни в левой полуплоскости комплексной плоскости Именно, справедлив [33].
Критерий Рауса — Гурвица. Пусть все коэффициенты уравнения (11) вещественны и
Для того чтобы все корни уравнения (11) имели отрицательные вещественные части, необходимо и достаточно, чтобы все определители
были положительны.
Здесь
при