Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше
Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике
§ 7. Зависимость решений от параметров и начальных условий
1. Непрерывная зависимость решений от параметров.
Дифференциальные уравнения, описывающие физические процессы, всегда содержат некоторые параметры (масса, упругость и т. д.). Эти параметры в реальных задачах никогда не могут быть измерены абсолютно точно, т. е. всегда измеряются с некоторой погрешностью, так что сами дифференциальные уравнения известны лишь с некоторой степенью точности. Поэтому, для того чтобы уравнения могли описывать реальные процессы, необходимо, чтобы их решения непрерывно зависели от параметров, т. е. чтобы они мало менялись при малых изменениях параметров.
Перейдем к точным формулировкам.
Теорема о непрерывной зависимости
шений от параметров. Рассмотрим задачу Коши для одного уравнения
где
— параметр. Пусть
— область в пространстве
Если функции
непрерывны в области
по совокупности переменных и точка
то решение задачи Коши (1)
непрерывно по совокупности переменных
в некоторой области
Интегральные кривые уравнения (1) образуют семейство кривых, проходящих через точку
Теорема утверждает, что интегральные кривые, отвечающие близким значениям параметра
близки.
Доказательство. Сведем задачу Коши (1) к эквивалентному ей интегральному уравнению
или, в операторной форме,
Возьмем параллелепипед
ство теоремы для одного уравнения, точно так же доказывается теорема для системы (4).
Рассмотрим задачу Коши для одного уравнения
Начальные данные
также можно рассматривать как параметры. С помощью замены
получаем задачу Коши
Правая часть
зависит от начальных данных как от параметров, а начальные данные
не зависят от параметров. Поэтому из предыдущей теоремы следует, что если правая часть
имеет непрерывные производные до порядка
включительно, то решение
задачи Коши (7) имеет непрерывные производные до порядка
включительно по совокупности переменных
Аналогично формулируются и доказываются теоремы о непрерывной зависимости и дифференцируемости по параметрам и начальным данным для одного уравнения
порядка в нормальной форме.
Уравнение (6) называется уравнением в вариациях. Если решение
известно, то это линейное дифференциальное уравнение первого порядка. Уравнения для высших производных х также будут линейными.
Пусть решение задачи Коши (1) известно при некотором частном значении параметра
Тогда можно вычислить все производные
используя уравнения в вариациях. Действительно, при
имеем линейное уравнение
Проинтегрировав это уравнение, найдем - Аналогично вычисляются высшие производные.