§ 7. Зависимость решений от параметров и начальных условий

1. Непрерывная зависимость решений от параметров.

Дифференциальные уравнения, описывающие физические процессы, всегда содержат некоторые параметры (масса, упругость и т. д.). Эти параметры в реальных задачах никогда не могут быть измерены абсолютно точно, т. е. всегда измеряются с некоторой погрешностью, так что сами дифференциальные уравнения известны лишь с некоторой степенью точности. Поэтому, для того чтобы уравнения могли описывать реальные процессы, необходимо, чтобы их решения непрерывно зависели от параметров, т. е. чтобы они мало менялись при малых изменениях параметров.

Перейдем к точным формулировкам.

Теорема о непрерывной зависимости шений от параметров. Рассмотрим задачу Коши для одного уравнения

где — параметр. Пусть — область в пространстве

Если функции непрерывны в области по совокупности переменных и точка то решение задачи Коши (1) непрерывно по совокупности переменных в некоторой области

Интегральные кривые уравнения (1) образуют семейство кривых, проходящих через точку Теорема утверждает, что интегральные кривые, отвечающие близким значениям параметра близки.

Доказательство. Сведем задачу Коши (1) к эквивалентному ей интегральному уравнению

или, в операторной форме,

Возьмем параллелепипед

лежащий в области и обозначим

Применим к уравнению (3) принцип сжатых отображений. В качестве В возьмем пространство функций непрерывных при , где будет выбрано ниже, с нормой

В качестве М возьмем множество функций из В таких, что Заметим, что если то функция

непрерывна по при по теореме о непрерывности интеграла, зависящего от параметра. Повторяя далее дословно доказательство основной теоремы, получаем, что при где оператор А сжимает откуда и вытекает настоящая теорема.

Точно так же формулируется и доказывается теорема о непрерывной зависимости от параметров для системы:

где — параметры.

Теорема о дифференцируем ост и решений по параметру. Пусть в некоторой области пространства вектор-функция имеет непрерывные производные до порядка включительно по переменным Тогда решение задачи Коши имеет непрерывных производных по переменным

Доказательство проведем для случая одного уравнения и одного параметра (см. (1)). Пусть — решение задачи Коши (1). Функция удовлетворяет уравнению

и данным Коши (1), так что удовлетворяет уравнению

Правую часть по лемме Адамара можно представить в виде где — непрерывные функции от переменных и для функции получаем линейное уравнение

Поскольку функции удовлетворяют одним и тем же данным Коши, то

Правая часть уравнения (5) непрерывна по переменным и непрерывно дифференцируема по переменной так как, в силу леммы Адамара, функции — интегралы от непрерывных функций . В силу теоремы о непрерывной зависимости от параметров функция непрерывна при достаточно малых а потому существует конечный предел Из леммы Адамара следует, что

так что производная удовлетворяет уравнению

и данным Коши

Если правая часть имеет непрерывные производные до порядка включительно, то» применяя к уравнению (6) те же рассуждения, что и выше, мы докажем существование и непрерывность производных Продолжив эти рассуждения, получим доказатель

ство теоремы для одного уравнения, точно так же доказывается теорема для системы (4).

Рассмотрим задачу Коши для одного уравнения

Начальные данные также можно рассматривать как параметры. С помощью замены

получаем задачу Коши

Правая часть зависит от начальных данных как от параметров, а начальные данные не зависят от параметров. Поэтому из предыдущей теоремы следует, что если правая часть имеет непрерывные производные до порядка включительно, то решение задачи Коши (7) имеет непрерывные производные до порядка включительно по совокупности переменных

Аналогично формулируются и доказываются теоремы о непрерывной зависимости и дифференцируемости по параметрам и начальным данным для одного уравнения порядка в нормальной форме.

Уравнение (6) называется уравнением в вариациях. Если решение известно, то это линейное дифференциальное уравнение первого порядка. Уравнения для высших производных х также будут линейными.

Пусть решение задачи Коши (1) известно при некотором частном значении параметра

Тогда можно вычислить все производные используя уравнения в вариациях. Действительно, при имеем линейное уравнение

Проинтегрировав это уравнение, найдем - Аналогично вычисляются высшие производные.

Пример. Рассмотрим задачу Коши

где — постоянная. Найдем При имеем Дифференцируя уравнение и начальные данные по и полагая затем получаем

Эту задачу проще всего решить с помощью операционного исчисления. Пусть — изображение функции тогда

Используя таблицу из гл. 1 § 11, находим