4. Устойчивость неавтономных систем.

Рассмотрим неавтономную систему из уравнений

Будем предполагать, что вектор-функция дважды непрерывно дифференцируема в некоторой области Кроме того, предположим, что

так что система (9) имеет решение

В этом случае говорят об устойчивости по Ляпунову или об асимптотической устойчивости нулевого решения эти понятия формулируются дословно так же, как и для автономных систем (§ 6, определения 1, 2).

Такая постановка задачи возникает при исследовании устойчивости решения (положение равновесия — это частное решение). Пусть — решение автономной системы из уравнений

Сделаем подстановку

тогда для получим систему

Очевидно, что при т. е. условие (10) выполняется. Решение системы (11) называется устойчивым по Ляпунову или асимптотически устойчивым, если таковым является нулевое решение системы (12). Асимптотическая устойчивость решения означает, что если величина достаточно мала, то

т. е. точки фазовой траектории решения при неограниченно сближаются с точками фазовой траектории решения Устойчивость траектории называют также орбитальной устойчивостью.

Проведем линеаризацию системы (12) в окрестности решения Считая малой величиной, получаем

Здесь матрица Якоби, с элементами Линеаризованная система имеет вид

Это линейная система, но с переменными коэффициентами. Система (13) называется первой вариацией системы (11) относительно решения

Функция называется функцией Ляпунова системы (9), если:

1) эта функция определена и непрерывно дифференцируема при

3) существует положительно определенная в области функция такая, что при всех

4) при всех

Теоремы Ляпунова об устойчивости положения равновесия и об асимптотической устойчивости (§ 5) полностью переносятся на случай неавтономной системы (9). В утверждении теоремы об асимптотической устойчивости необходимо дополнительно потребовать, чтобы выполнялась оценка

где — положительно определенная в области функция. Доказательства лишь несколько усложняются по сравнению с приведенными в § 6.

Сформулируем аналог теоремы Ляпунова об устойчивости по линейному приближению для системы (9). Теорема 2. Рассмотрим систему из уравнений

Пусть А — постоянная матрица, вещественные части всех ее собственных значений отрицательны, вектор-функция непрерывно дифференцируема при

равномерно по при всех Тогда нулевое решение системы (14) асимптотически устойчиво и справедлива

оценка

где , если величина достаточно мала.

Доказательство см. в [34].