§ 6. Устойчивость. Функция Ляпунова

1. Устойчивость положения равновесия.

Слово «устойчивость» настолько выразительно, что правильные интуитивные представления об устойчивости имеются у всех Рассмотрим металлический шарик, который катается горке (рис. 27). Имеются ровно две точки покоя (положения равновесия): дно впадины и вершиш горки Ясно, что первое из них устойчиво, а второе — нет. Действительно, если слегка подтолкнуть сместить шарик с вершины, то он либо будет колебаться во впадине, либо укатится на бесконечность. Если же шарику, находящемуся в точке 1, сообщить малую начальную скорость и слегка его сместить, то он будет

совершать малые колебания вблизи этого положения равновесия.

Но таких наглядных представлений об устойчивости совершенно недостаточно, чтобы решить мало-мальски серьезную задачу об устойчивости реальной физической или технической системы. Теория устойчивости создавалась многими математиками, механиками, физиками. Фундаментальные результаты в теории устойчивости принадлежат знаменитому русскому математику А. М. Ляпунову.

Рассмотрим автономную систему из уравнений

Обозначим решение этой системы с начальными данными

Определение 1. Положение равновесия а называется устойчивым по Ляпунову, если:

1°. Существует такое, что если то решение существует при 0

2°. Для всякого существует такое, что если то

при .

Это означает, что если в начальный момент времени точка находится достаточно близко к положению равновесия (т. е. величина мала), то и во все последующие моменты времени, двигаясь по траектории, точка будет оставаться вблизи положения равновесия.

Определение 2. Положение равновесия а называется асимптотически устойчивым, если оно устойчиво по Ляпунову и если

при достаточно малых

Это означает, что если точку немного сдвинуть из положения равновесия, то она с ростом времени будет стремиться вернуться в положение равновесия.

В примере с шариком положение равновесия 1 будет устойчивым по Ляпунову, если трение отсутствует. Если

имеется трение, то колебания шарика сбудут уменьшаться с ростом времени, т. е. положение равновесия будет асимптотически устойчивым.

Следует подчеркнуть, что мы рассматриваем устойчивость положения равновесия по отношению к малым возмущениям. Устойчивость по отношению к возмущениям, которые не являются малыми — это значительно более сложная задача.

В гл. 1, § 9 были исследованы фазовые траектории двумерной автономной системы где и А есть -матрица. Начало координат есть положение равновесия, и его устойчивость в этом примере легко исследуется:

1. Устойчивый узел, устойчивый фокус — асимптотически устойчивые положения равновесия (рис. 7, 10).

2. Центр — устойчивое по Ляпунову, но не асимптотически устойчивое положение равновесия (рис. 9).

3. Седло (рис. 8), неустойчивый узел, неустойчивый фокус — неустойчивые положения равновесия!

2. Функция Ляпунова. Пусть функция непрерывно дифференцируема в окрестности точки Эта функция называется положительно определенной (в области если

Если же выполнены условия

то функция называется отрицателъно определенной.

Рис. 29.

Пример 1. Функция

положительно определена в любой окрестности точки

При уравнение определяет параболоид вращения (рис. 29), который касается плоскости в начале координат, а его остальные точки лежат выше этой плоскости. Линии уровня фуцкции V — это окружности которые стягиваются в точку при Справедлива

Теорема [7]. Пусть функция положительно определена в окрестности точки а. Тогда множества уровня лежащие в замкнутые гиперповерхности, окружающие точку а, если достаточно мало.

Пример 2. Рассмотрим квадратичную форму

Здесь эти числа вещественны, так что вещественная симметрическая матрица. Квадратичная форма называется положительно определенной,

Положительно определенная квадратичная форма есть положительно определенная функция в любой окрестности точки

Этот пример существенно используется в последующем, и мы исследуем его более тщательно.

Лемма. Если А — вещественная симметрическая -матрица, то для любого справедливо неравенство

Здесь а — наименьшее, — наибольшее собственное значение матрицы А.

Доказательство. Из линейной алгебры известно [8, 20], что матрицу А можно привести к диагональному виду с помощью ортогонального преобразования, т. е. существует ортогональная матрица Т такая, что где — диагональная матрица с диагональными элементами Сделаем подстановку тогда

(так как )

так что а Ортогональное преобразование сохраняет длину вектора; , и (4) доказано.

Определение 3. Положительно определенная в окрестности точки а функция называется функцией Ляпунова (системы (1)), если

Здесь — производная в силу системы (1).

Теорема Ляпунова об устойчивости. Если в некоторой окрестности положения равновесия а существует функция Ляпунова то это положение равновесия устойчиво по Ляпунову.

Наметим идею доказательства при пусть Линии уровня — замкнутые кривые при малых Эти кривые стягиваются в точку при и при малых линия уровня лежит внутри линии уровня если (Читателю, который найдет ошибку в этом утверждении, рекомендуем перейти к чтению строгого доказательства.) Выпустим фазовую траекторию у в момент времени из точки Так как то вдоль траектории лемма), т. е. лежит внутри линии уровня при всех (рис. 30). Поэтому точка не может сильно отклониться от положения равновесия.

Рис. 30.

Рис. 31.

Чем меньше тем меньше область она стягивается в точку при что и показывает устойчивость положения равновесия.

Доказательство. Пусть выберем такое, что шар лежит в окрестности точки

Пусть — граница шара — сфера Так как — замкнутое ограниченное множество, функция непрерывна и на Рассмотрим шар содержащийся в Так как то можно выбрать настолько малым, чтобы выполнялось неравенство при в силу непрерывности функции

Покажем, что если то при Тем самым теорема будет доказана. Так как в области то при вдоль фазовой траектории Следовательно, траектория, которая начинается в шаре не может пересечь границы шара на на траектории.

Теорема Ляпунова об асимптотической устойчивости. Пусть в некоторой окрестности положения равновесия а существует функция Ляпунова такая, что функция отрицательно определена в Тогда положение равновесия а асимптотически устойчиво.

Доказательство. Выберем шары так же, как и в предыдущем доказательстве. Если то при Рассмотрим функцию и) Так как то функция не возрастает (§ 4, лемма), и существует предел При этом , поскольку

Если то так как при этом случае теорема доказана. Допустим, что и приведем это предположение к противоречию. В этом случае при всех и существует такое, что а при В противном случае на траектории у имелись бы точки, сколь угодно близкие к точке а потому функция на у принимала бы сколь угодно малые значения. В шаровом слое функция строго отрицательна, по условию теоремы. В силу непрерывности в этом слое, а стало быть, и на траектории у. Следовательно,

Интегрируя, получаем и правая часть этого неравенства отрицательна при Это противоречит предположению:

Пусть — окрестность положения равновесия — область, которая содержится в и имеет а своей граничной точкой (рис. 32).

Рис. 32.

Теорема Четаева, о неустойчивости. Пусть функция непрерывно дифференцируема в области

в тех граничных точках области которые лежат внутри области Тогда положение равновесия а неустойчиво.

Доказательство. Пусть точка — фазовая траектория, выходящая из точки ее уравнение имеет вид Покажем, что траектория не может пересечь ту часть границы области которая лежит внутри Рассмотрим функцию вдоль Так как пока у содержится в то пока у содержится в и траектория не может пересечь ту часть границы области на которой Следовательно, траектория у должна покинуть Так как. содержит точки, сколь угодно близкие к точке а, то это положение равновесия неустойчиво.

Рассмотрим примеры.

Теорема 1. Пусть система (1) имеет первый интеграл положительно определенный в окрестности положения равновесия а. Тогда положение равновесия а устойчиво по Ляпунову.

Действительно, и потому все условия теоремы Ляпунова об устойчйвости выполнены.

Пример 3. Рассмотрим материальную точку массы которая движется в потенциальном поле сил с потенциальной энергией Движение частицы описывается системой уравнений

Эта система эквивалентна системе уравнений первого порядка

и имеет первый интеграл (§ 4)

Положения равновесия определяются из уравнений т. е. имеют вид где — стационарная точка потенциальной энергии.

Пусть — изолированная точка минимума потенциальной энергии , тогда положение равновесия устойчиво по Ляпунову. Это утверждение было высказано Лагранжем и впоследствии доказано Дирихле.

Так как потенциальная энергия определяется с точностью до постоянного слагаемого, то можно считать, что Функция обращается в нуль (в малой окрестности точки только при так как при и теорема Дирихле следует из теоремы 1.

Теорема 2. Пусть — положение равновесия системы (1) и существует функция Ляпунова такая, что

в некоторой окрестности точки где — положительные постоянные. Тогда существует положительная постоянная С такая, что

если точка достаточно близка к точке

Доказательство. Положим тогда или Интегрируя это неравенство от 0 до , получаем Учитывая второе из неравенств (6), получаем

откуда следует (7).