2. Вычисление матричной экспоненты.
Пусть 
-матрица, тогда
Лемма. Если Т — невырожденная 
-матрица,
то
Доказательство вытекает из тождества
Эта лемма необыкновенно упрощает вычисление степеней матриц. Ясно, что в качестве матрицы Т нужно взять такую, которая приводит матрицу А к простейшему виду. Пусть матрица А приводится к диагональному виду, т. е. существует матрица Т такая, что
Тогда, в силу (6),
Из (6) следует, что
и если матрица А приводится к диагональному виду, то
В частности, отсюда следует, что
Здесь 
— след матрицы А, т. е. сумма ее диагональных элементов;
Из линейной алгебры [7, 17] известно, что 
так что 
Формула (9) для определителя матричной экспоненты (доказанная пока только для таких матриц, которые приводятся к диагональному виду) справедлива для любых квадратных матриц.
Формулы (2), (8) позволяют получить новое доказательство формулы для решений системы (1) (гл. 1, § 8). Всякое решение системы (1) имеет вид 
, где а —
Из этой формулы следует,
Эта формула в. сочетании с (8) позволяет вычислить матрицу 
для произвольной матрицы А.
Матричная экспонента позволяет установить связи между важнейшими классами матриц. Из (5) следует, что
так как 
Аналогично,
где А — эрмитово сопряженная матрица (т. е. если 
то 
Если матрица А — кососимметрическая, т. е. 
, то матрица 
— ортогональная. Действительно,
2. Если матрица А — косоэрмитова, т. е. 
, то матрица .
— унитарная. Действительно,
Из (12), (13) следует также, что если матрица А симметрическая (эрмитова), то матрица 
также симметрическая (эрмитова).
Одно из основных отличий матричной экспоненты от обычной (скалярной) таково
если 
Чтобы убедиться в этом, достаточно взять матрицы
В силу (8) имеем
компонента вектора 
равна 1, остальные равны нулю. Так как 
собственный вектор матрицы А, то мы пришли к формуле (4) из гл. 1, § 8.
с нулевыми диагональными элементами. Степени этой матрицы равны
— жорданов блок порядка 
с диагональными элементами, равными 
, т. е. Имеем
так как 
и окончательно получаем
