§ 3. Асимптотика решений при больших значениях аргумента

1. Осциллирующие решения.

Рассмотрим уравнение

на полуоси Введем условия:

2°. непрерывна при

3°. Сходится интеграл

Функция выписана в § 1.

Теорема 1. Пусть условия выполнены. Тогда уравнение (1) имеет решения вида

и для функций справедливы оценки

где С — постоянная.

Из условия 3° следует, что при так что, в частности, справедлива асимптотическая формула

Доказательство. Воспользуемся теоремой 2 из § 2. Положим так что и Так как этот интеграл сходится, то при и потому при достаточно больших х. Поэтому оценку (19) из § 2 можно записать в виде

Из этой оценки и определения функции (§ 2, (7), (8)) следует существование решения для которого справедливы формулы Чтобы доказать существование решения достаточно заметить, что если — решение уравнения (1), то — также решение. Следствие. Пусть выполнено условие

Тогда решения линейно независимы и их асимптотику можно дифференцировать, т. е.

Доказательство. Из оценки (20) и условия 5) следует (6) для аналогично доказывается формула (6) для Из (3), (6) получаем, что при вронскиан решений равен

Так как вронскиан от не. зависит, то, устремляя х к бесконечности, получаем

и линейная независимость построенных решений доказана.

Вместо можно взять вещественные решения со следующими асимптотиками при

Их вронскиан равен

Полученные асимптотические формулы показывают, что все решения уравнения (1) осциллируют при больших х.

Обсудим одно из важнейших условий теоремы ловие 3°. Пусть (здесь и ниже — постоянные), тогда и интеграл (2) сходится, если При выполняется также условие (5). В частности, если — многочлен (с положительным коэффициентом при старшей степени), то все условия теоремы и следствия выполнены. Нетрудно проверить, что если есть функция вида где — любое вещественное число, то все условия теоремы 1 и следствия выполнены. Эти условия выполняются также, если асимптотика функции

имеет один из указанных выше типов и ее можно дважды дифференцировать. Например,

Отметим также, что во всех этих случаях,

Условие (2) означает, грубо говоря, что функция не слишком быстро убывает при (медленнее, чем и достаточно правильно ведет себя на бесконечности.

При условии (9) решения имеют бесконечно много положительных нулей, и если — соседние нули одного из этих решений, то

Пример 1. Уравнение Эйри

имеет решения такие, что при

Действительно, после замены переменной получаем уравнение так что

Пример 2. Приведенное уравнение Бесселя

имеет решения такие, что при

Действительно, в этом случае

Следовательно,

и из этих оценок и (3) следуют асимптотические формулы.

Приведем еще один важный результат об асимптотике решений уравнения типа (1):

Теорема 2. Пусть — постоянная, функция непрерывна при и выполнено условие.

Тогда уравнение имеет линейно независимые решения вида

Доказательство. Представим уравнение в виде и решим его, считая правую часть известной функцией (гл. 3, § 7, (16)). Тогда получим интегральное уравнение

Положим и применим метод последовательных приближений:

Докажем по индукции оцепку

При имеем

Совершим переход индукции от Имеем

так как Следовательно,

и потому последовательность равномерно сходится к функции на полуоси Так как, по доказанному, функция ограничена, то из (14) находим

Правая часть этого неравенства стремится к нулю при в силу условия (12), и решение построено. Аналогично строится решение

Допустим, что эти решения линейно зависимы, тогда при . Если , то . Но из (13) следует, что так что

Это невозможно, так как предел левой части этого равенства при не существует.

Следствие 1. В условиях теоремы 2 справедливы оценки

Следствие 2. Если

то асимптотические формулы (13) моокно дифференцировать:

Для доказательства достаточно продифференцировать уравнение (14).