2. Квадратичные функционалы.
Уравнение Эйлера для функционала (6) имеет вид
Пусть выполнено усиленное условие Лежандра:
Этого условия недостаточно для положительной определенности квадратичного функционала.
Пример 2. Рассмотрим функционал
Если 
Определение 2. Точка с называется сопряженной с точкой с, если уравнение (10) имеет решение 
такое, что 
В примере 2 точки 
сопряжены, так как функция 
удовлетворяет уравнению Эйлера 
Теорема 2. Пусть выполнено условие 
и отрезок 
не содержит точек, сопряженных с точкой а. Тогда квадратичный функционал 
положительно определен.
Основная идея доказательства теоремы 2 принадлежит Лежандру и состоит в том, чтобы привести 
к интегралу от квадрата функции. Добавляя к интегралу (6) выражение
получаем
Чтобы выражение в квадратных скобках было полным квадратом, необходимо, чтобы дискриминант обратился в нуль, т. е. чтобы функция 
удовлетворяла уравнению Риккати
Если на отрезке 
такая функция существует, то 
так что 
Но такой функции 
может не существовать. Уравнение Риккати — нелинейное, и его решение может не существовать в большом, т. е. на всем отрезке 
Условие Якоби (отсутствие сопряженных точек на отрезке 
необходимо для существования такой функции 
Лемма 3. В условиях теоремы 2 существует решение уравнения Риккати (12), определенное на всем отрезке 1.
Доказательство. Сделаем в уравнении (12) подстановку 
— новая неизвестная
функция, тогда
Покажем, что это уравнение имеет решение 
которое не обращается в нуль на отрезке 
тем самым функция 
будет построена. Пусть 
— решение с данными Коши 
тогда 
так как на отрезке 
нет точек, сопряженных с а. Рассмотрим решение 
с данными Коши 
где 
достаточно мало. Так как 
при 
, то по теореме о непрерывной зависимости решения от начальных данных 
Завершим доказательство теоремы 2. Прежде всего покажем, что
Действительно, 
в силу представления (13), и если 
то на функции 
функционал 
достигает наименьшего значения. Поэтому функция 
удовлетворяет уравнению Эйлера (10). Из представления (13) и условий 
следует, что
и потому 
По теореме единственности 
Отсюда следует, что если 
достаточно мало, то
Действительно, 
при 
так что для функционала
условие (11) выполнено. Ему отвечает уравнение Эйлера
Покажем, что это уравнение имеет решение, положительное при 
Пусть 
— решение, отвечающее данным Коши 
Так как 
при
то по теореме о непрерывной зависимости решений от параметра 
если 
мало. Фиксируем 
и выберем 
достаточно малым, тогда решение, отвечающее данным Коши 
будет положительным при 
Из доказательства леммы 3 следует, что 
и так как
то
