3. Комментарии к основной теореме.

1°. Для существования решений достаточно непрерывности правой части Справедлива

Теорема Пеано. Если вектор-функция непрерывна в области то решение задачи Коши существует при любых Доказательство см. в [40].

2°. Для единственности решения непрерывности правой части недостаточно. Пример неединственности:

(гл. 1, § 2, пример 1, рис. 2). Единственность нарушается на оси а на этой оси условия основной теоремы не выполняются, так как производная обращается в бесконечность.

Решение задачи Коши (7) может быть единственным при более слабых условиях на вектор-функцию чем в основной теореме. Приведем один из основных результатов о единственности решений.

Теорема Осгуда. Пусть функция непрерывна при и при и

при любом . Пусть для любых точек из области выполняется неравенство

Тогда задача Коши (7) имеет не более одного решения при любых

Примеры функций

и т. д., где — постоянная.

Более сильные теоремы единственности читатель может найти в [53].

3°. Теорема существования и единственности носит локальный характер: существование решения гарантируется лишь на малом интервале времени Это по существу, как показывает рассмотренный в гл. 1, § 2 пример

4°. Пусть — область на плоскости (возможно, замкнутая). По определению, функция удовлетворяет в области условию Липшица по переменной х, если существует постоянная такая, что

для любых точек из области Постоянная К не зависит от Вектор-функция удовлетворяет условию Липшица по х в области если

для любых точек из области

Если функция удовлетворяет условию Липшица в области то она непрерывна по переменной х при каждом фиксированном , т. е. функция непрерывна при всех таких х, что То же самое справедливо и для вектор-функций.

Приведем примеры функций и вектор-функций, удовлетворяющих условию Липшица.

1. Пусть функция непрерывно дифференцируема на отрезке Тогда удовлетворяет условию Липшица при Действительно, по формуле конечных приращений Лагранжа

так что при

2. Пусть где — замкнутая ограниченная область в пространстве Пусть вектор-функция непрерывна по совокупности переменных и непрерывно дифференцируема по переменным Тогда из леммы 3 § 4 следует, что удовлетворяет условию Липшица по а? в области В качестве липшицевой постоянной К в формуле (11) можно взять

3. Пусть I — отрезок постоянная. Имеем

так что функция удовлетворяет условию Липшица. Производная этой функции имеет точку разрыва

Точно так же можно доказать, что если функция непрерывна на отрезке а ее производная имеет конечное число точек разрыва и ограничена, то функция удовлетворяет условию Липшица на отрезке При этом можно положить

Основная теорема справедлива, если удовлетворяет условию Липшица по х.

Теорема существования и единственности. Пусть — область в пространстве вектор-функция непрерывна в области и удовлетворяет условию Липшица по х в каждой замкнутой ограниченной области содержащейся в Тогда решение задачи Коши (7) существует и единственно на некотором интервале

Доказательство дословно повторяет доказательство основной теоремы. Условие Липшица используется при выводе оценки (5). Пусть П — параллелепипед, указанный в доказательстве; тогда для любых справедлива оценка (11). Поэтому

и мы получаем те же оценки, что и выше, если во всех формулах заменить на К.