Вычислим период колебаний маятника. Из (7) следует, что если 
то Е можно записать в виде 
где 
максимальный угол отклонения. По формуле (6) находим
Подстановка 
и приводит этот интеграл к виду 
где
Функция называется полным эллиптическим интегралом первого рода [391; эта функция протабулирована.
Рис. 28
Формула (8) показывает, что период колебаний маятника зависит от амплитуды, что характерно для нелинейных колебаний. При малых 
(т. е. при малых колебаниях маятника) имеем
и в первом приближении период не зависит от Е (ср. гл. 1, § 6).
подвешена на конце нити длины 
и находится в однородном поле тяжести. Колебания маятника описываются уравнением
— угол отклонения маятника от вертикали. Имеется интеграл энергии
и перейдем к системе единиц, в которой 
тогда фазовые траектории маятника задаются уравнениями
Четным значениям 
отвечает нижняя точка подвеса, нечетным — верхняя. Ввиду периодичности косинуса достаточно изобразить траектории при 
Тем же споообом, что и выше, получаем, что при 
фазовые траектории — замкнутые кривые, содержащие внутри себя точку 
, при 
— незамкнутые бесконечные периодические по х кривые (рис. 28). Облает отвечающие финитным и инфинитным движениям, разделены сепаратрисами. При 
маятник совершает периодические колебания, не поднимаясь до верхней точки подвеса; при 
маятник крутится вокруг точки подвеса.
