§ 2. Интегрирование линейных и квазилинейных уравнений

1. Первые интегралы.

Рассмотрим автономную систему из уравнений

Предположение. Вектор-функция непрерывно дифференцируема в некоторой области Их.

В теореме 1 из § 4, гл. 4 доказано, что гладкая функция тогда и только тогда является первым интегралом системы (1), когда и удовлетворяет уравнению с частными производными первого порядка

в области Следовательно, интегрирование уравнения (1) сводится к отысканию всех первых интегралов системы (2). Так как всякое решение уравнения (2) есть первый интеграл системы (1), то из теоремы 2, § 4, гл. 4 вытекает

Теорема 1. Пусть — достаточно малая окрестность точпи которая не является положением равновесия системы (1). Тогда в области всякое решение уравнения (2) имеет вид

Здесь — независимые первые интегралы системы (1), а F - произвольная (гладкая) функция.

Тем самым задача об интегрирования уравнения с частными производными (2) сведена к интегрированию системы обыкновенных дифференциальных уравнений (1).

Система (1) называется характеристической для уравнения (2), а ее фазовые траектории называются характеристиками уравнения (2). Связь между характеристиками и интегральными поверхностями особенно проста в случае двух независимых переменных : пересечение плоскости с интегральной поверхностью есть характеристика. Это следуем из постоянства первого интеграла вдоль характеристики.

Пример 1. где — неизвестная функция. Уравнения характеристик удобно

записать, исключив в следующей форме:

Следовательно, характеристики — окружности первый интеграл и всякое решение уравнения имеет вид

Интегральные поверхности — поверхности вращения с осью

Пример 2. Уравнения характеристик: (параллельные прямые), первый интеграл: всякое решение имеет вид

Интегральная поверхность — цилиндрическая, образующие параллельны вектору .

Пример Если область в которой рассматривается уравнение, содержит начало координат, то единственными интегральными поверхностями являются плоскости (см. замечание 2). Пусть тогда — первый интеграл, решение имеет вид

Это уравнение можно записать в виде где - полярные координаты на плоскости х, у. Покажем, что все интегральные поверхности — коноиды. Коноидом называется поверхность, образованная прямыми (образующими), которые параллельны заданной плоскости (направляющей) и пересекают неподвижную прямую и неподвижную кривую (направляющие коноида). Точка пересечения направляющих прямой и плоскости называется вершиной коноида. Направляющей плоскостью поверхности служит плоскость направляющей прямой — ось . В качестве направляющей кривой можно взять, например, кривую, заданную уравнениями

Пример Уравнение характеристик: вектор с компонентами характеристики — параллельные прямые с направляющим вектором а. Выберем в ортогональный базис из векторов тогда функции — первые интегралы, так как Всякое решение имеет вид