2. Неосциллирующие решения.

Рассмотрим уравнение

Теорема 3. Если условия теоремы 1 выполнены, то уравнение (17) имеет решения вида

Справедлива оценка

Если, кроме того, выполнено условие (5), то

и решения линейно независимы.

Доказательство. Существование решения и оценка (19) доказываются точно так же, как и в теореме 1. Пусть интеграл т. е. выполнено (9). Функция

есть решение уравнения (17) (гл. 3, § 7). Пусть настолько велико, что при тогда интеграл из (21) можно представить ввиде

Докажем, что при

Тем самым представление (18) будет доказано для решения так как

при Так как при то можно применить правило Лопиталя:

Если же интеграл сходится, то решение можно построить с помощью того же интегрального уравнения, что и решение (§ 2). Мы не останавливаемся

подробнее на этом случае, потому что во всех известных нам конкретных примерах из сходимости интеграла из (2) следует расходимость интеграла из (9).

Вронскиан решений как следует из равен 2, и потому они линейно независимы.

В дальнейшем, в силу сделанного выше замечания, будем считать, что условие (9) выполнено.

Следствие. Пусть условие (5) выполнено. Тогда при решение строго монотонно возрастает, решение строго монотонно убывает, и

Действительно, из (18), (20) следует, что где при Пусть таково, что при . Тогда

так что при Аналогично доказывается второе из соотношеннй (22).

Итак, в условиях следствия уравнение (17) имеет убывающее при решение Все остальные решения, не пропорциональные этому, растут при

Пр им Уравнение Эйри (см. пример 2) имеет решения такие, что при

Решение, которое отличается от лишь постоянным множителем, а именно,

называется функцией дйри и играет важную роль в зада распространения волн. Из примера 1 следует, что функция Эйри должна сильно осциллировать при

Ее точная асимптотика такова

Функция Эйри описывает переходные процессы (типа перехода от света к тени), так как она осциллирует на полуоси и экспоненциально убывает на полуоси Ее свойства хорошо изучены [51].

Пример 4. Рассмотрим уравнение Вебера

Его решения называются функциями Вебера или функциями параболического цилиндра. Исследуем их асимптотику при Пусть тогда

при Следовательно, уравнение Вебера имеет решения такие, что при

Решение экспоненциально убывает, а решение экспоненциально возрастает при

Теорема 4. Пусть выполнены условия теоремы 2. Тогда уравнение

имеет линейно независимые решения вида

Доказательство. Рёшение строится точно так же, как и в теореме 2, а решение определим формулой (21), где Тогда

где при Тем же способом, что и выше,

нетрудно показать, что интеграл из правой части этого равенства равен при