4. Метдд осреднения.

Рассмотрим неавтономную систему из уравнений со слабой нелинейностью

и поставим задачу Коши с . Нас интересует поведение решения при на интервале времени порядка . Непосредственное изучение решений неавтономной системы сопряжено со значительными трудностями. Суть метода осреднения состоит в том, что систему (25) можно приближенно заменить осредненной системой, которая является автономной, и решения задачи Коши для исходной и осредненной систем будут близки на интервале времени порядка .

Приведем эвристические соображения.

Пусть вектор-функция для простоты, периодична по переменному с периодом Разложим в ряд Фурье:

где штрих означает, что . В силу того, что вещественнозначна, имеем Можно даже считать, что — скалярные функции, т. е. рассматривать скалярные уравнения (25), поскольку соображения одни и те же и для одного уравнения, и для системы, и пусть

Уравнение (25) имеет вид

При существует решение Так как правая часть уравнения (22) содержит малый параметр то

и если меняется на отрезке длины порядка то

Заменим уравнение (25) приближенным

Мы пока что никак не использовали специфику исходного уравнения.

Теперь проинтегрируем обе части последнего уравнения от 0 до и заметим, что при к

при любом Следовательно,

Если то имеет порядок так что

Точно такой же результат мы получим, если отбросим ряд из правой части уравнения (26), т. е. рассмотрим уравнение

Из определения коэффициентов Фурье следует, что равно среднему по от по отрезку

Итак, при временах порядка или меньших систему (25) можно приближенно заменить системой

где — среднее вектор-функции . Система (28)

называется осредненной системой первого приближения. Приведем один результат о близости решений систем. (25), (28).

Пусть — решения систем (25), (28) с одинаковыми данными Коши и пусть решение существует и ограничено, при Тогда для любого сколь угодно большого и для любого сколь угодно малого в интервале при справедливо неравенство

Метод осреднения является одним из наиболее мощных и глубоких асимптотических методов и применим в значительно более общей ситуации, чем рассмотренная выше. Именно, периодичность вектор-функции по переменной вовсе необязательна: необходимым условием применимости метода осреднения является существование среднего

Если периодична то это среднее, очевидно, совпадает со средним (27) по периоду. Среднее (29) существует также и для многих классов почти-периодических функций (гл 1, § 7), например для вектор-функций вида

где — произвольные вещественные постоянные. В этом примере вектор-функция является, вообще говоря, почти периодической. Метод осреднения его приложения изложены в монографиях [9], [16].