§ 9. Достаточные условия слабого экстремума

Пусть В — банахово пространство, — функционал от пары Функционал называется билинейным, если он линеен по каждому аргументу при фиксированном другом, т. е.

Функционал называется квадратичным. Пример 1. Функционал

является квадратичным функционалом в пространстве Здесь — непрерывные функции. Соответствующий билинейный функционал равен

Если — квадратичный функционал, то для любого

Определение 1. Пусть функционал определен в окрестности точки Мы скажем, что имеет вторую вариацию в точке если его приращение может быть представлено в виде

где — линейный и — квадратичные функционалы.

Функционал называется второй вариацией функционала Ну) в точке Будем писать или просто Вторая вариация — это обобщение понятия второго дифференциала функций. Как и в случае функций, исследование второго дифференциала позволяет получить достаточные условия экстремума. В дальнейшем рассматриваются только функционалы, имеющие вторую вариацию. Справедлива

Теорема 1. Пусть Для того чтобы была точкой минимума (максимума) функционала ,

необходимо, чтобы

для всех допустимых приращений .

Выведем формулу для второй вариации. Имеем из (2) при фиксированном

так что

В дальнейшем рассматривается функционал

и задача с закрепленными концами:

Ищется слабый экстремум, т. е. Из формулы (3) находим

Преобразуем это выражение, проинтегрировав по частям:

Внеинтегральная подстановка обратилась в нуль, так как Окончательно получаем выражение вида (1):

Если функция дважды непрерывно дифференцируема при то вторая вариация существует в любой точке . В дальнейшем предполагается, что функция

трижды непрерывно дифференцируема в указанной области; необходимость этого условия ясна из вида функции

Всюду в дальнейшем предполагается, что в точке функция допустимое приращение, т. е. и

Лемма 1. Для того чтобы была точкой минимума задачи (5) для функционала необходимо, чтобы выполнялось условие Лежандра

Доказательство. Допустим противное, тогда существует точка такая, что (напомним, что — см. (6)); тогда на некотором интервале . Пусть для простоты. Положим где при при непрерывно дифференцируема при всех х. Пример такой функции см. в § 3. При имеем и потому при

При первое слагаемое в квадратных скобках стремится к бесконечности, второе — постоянно, и потому при малых

Лемма 2. Пусть и существует постоянная 00, не зависящая от функции и такая, что

для всех допустимых приращений . Тогда функция есть точка строгого минимума задачи с закрепленными концами (5) для функционала

Доказательство. По формуле Тейлора имеем

где при Если , так что

и потому

если достаточно мало,

Квадратичный функционал, для которого выполняется неравенство (9), называется положительно определенным. Если первая вариация функционала (первый дифференциал функции) обращается в некоторой точке в нуль, а вторая вариация функционала (второй дифференциал функции) положительно, определена, то эта точка минимума.