3. Функция последования. Автоколебания.

Пусть — отрезок, который не касается траекторий системы (1). В качестве L можно взять, например, малый отрезок нормали к фазовой траектории. Уравнение можно записать в виде так что каждая точка Р на определяется значением параметра и: Выпустим из точки

положительную-полутраекторию . Пусть она пересекается с и первая точка пересечения. Функция называется функцией последования. Перечислим ее основные свойства; доказательства их см. в [40, 41].

1°. Если функция последования определена при некотором значении параметра и, то она определена при всех достаточно близких значениях параметра.

Это следует из теоремы о непрерывной зависимости решения от параметров (гл. 2, § 7). Пусть — интервал, на котором функция последования определена.

2°. Функция непрерывно дифференцируема при

3°. Для того чтобы через точку проходил цикл, необходимо и достаточно, чтобы

Рис. 34.

Заметим, что достаточность этого утверждения очевидна. По функции последования можно судить об устойчивости предельного цикла — случаям в (рис. 34) отвечают устойчивый, неустойчивый и полуустойчивый предельные циклы.

Предельные циклы представляют огромный интерес для физики и техники. Поведение многих физических и технических систем описывается уравнениями вида (1). Существование устойчивого предельного цикла у этой системы уравнений означает, что соответствующая физическая или техническая система работать в устойчивом периодическом режиме.

Пример 1. Рассмотрим уравнение

Оно описывает работу простейшего лампового генератора, состоящего из триода, конденсатора с емкостью С, сопротивления и катушек индуктивности Здесь

сила тока, идущего через сопротивление, характеристика триода: ток, идущий через лампу, — сеточное напряжение), коэффициент взаимной индукции между индуктивностями и

Характеристика — монотонно возрастающая функция (рис. 35).

Рис. 35.

Делая подстановку получаем уравнение

где параметры легко выражаются через исходные. Полученное уравнение, как правило, не интегрируется. А. А. Андроновым была предложена модель, которая допускает исчерпывающее исследование:

Полагая получаем систему, которая имеет вид

при и вид

при Пусть тогда корни характеристического уравнения которое отвечает системам (5), (6), комплексны:

Система (5) имеет положение равновесия система (6) — ; оба они — устойчивые фокусы, причем движение по фазовым траекториям (спиралям) совершается по часовой стрелке.

Найдем функцию последования Пусть при точка находится на оси х и имеет вид Тогда при малых она сдвинется в полуплоскость так что удовлетворяют системе (6), и

Из данных Коши находим

при При траектория попадет в полуплоскость так что удовлетворяют системе (5), и

Из данных Коши находим

При траектория пересекает ось х в точке

Тем самым функция последования построена. Уравнение имеет единственное решение:

которому отвечает предельный цикл. Нетрудно проверить, что т. е. имеет место случай (рис. 34, а) и предельный цикл устойчив.

Пример 2. Движение часового маятника описывается уравнением

где — угол отклонения маятника от вертикали, — положительные постоянные. Далее, М — момент, действующий на маятник со стороны анкера (рычага). Эта функция нелинейна и удовлетворяет условиям [21]:

1. Знак М совпадает со знаком 0.

2. Функция М заметно отлична от нуля только при 0, близких к нулю.

Это означает, что анкерный механизм подталкивает маятник в направлении его движения только тогда, когда маятник проходит через вертикальное положение Простейшая функция, удовлетворяющая условиям 1, 2, есть где — постоянная, есть дельтафункция и уравнение (8) можно записать в виде

где — положительные постоянные. Будем, как и в примере 1, считать, При уравнение (9) — линейное

и в каждой из полуплоскостей траектория состоит из полувитков спиралей. Если траектория при пересекает ось то необходимо поставить дополнительные условия на решение. Одно из них очевидно — непрерывность траектории: Чтобы найти второе, проинтегрируем обе части уравнения (9) по интервалу где достаточно мало (такой прием уже применялся в гл. 3, § 12), тогда получим

Функция возникает по той причине, что если то интегрирование по производится в положительном направлении, если

— то в отрицательном. Переходя к пределу при получаем

так как при Нетрудно видеть, что знаки скоростей совпадают, так что

Построим функцию последования. Положим и пусть начальная точка лежит на оси Решая уравнение (10) с этими данными Коши получаем

причем точка движется по часовой стрелке Из (11) находим так что

за половину оборота. Точно так же получаем, что

за время и потому

Уравнение имеет единственное решение

Нетрудно видеть, что так что этому значению отвечает устойчивый предельный цикл (рис. 36).

Рис. 36.

Качественно возникновение предельного цикла можно пояснить так. Наличие трения (члена приводит к тому, что если точка начинает движение из положения , то она пересечет ось имея меньшую по абсолютной величине скорость. Но в момент времени происходит толчок: скорость получает конечное приращеййе направление которого совпадает с направлением скорости. Эта борьба между трением и толчками приводит к установлению предельного периодического режима; наличие трения обусловливает его устойчивость. Такого рода предельные циклы имеются во многих физических задачах (см. [3, 4, 21, 41]).

Периодические решения лишь в редких случаях удается найти в явном виде. Для их построения развиты различные приближенные методы; одни из основных — это методы Пуанкаре и Ляпунова.