§ 6. Линейные однородные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

1. Гармонические колебания.

Рассмотрим уравнение

где — постоянная. Характеристическое уравнение есть так что всякое вещественное решение уравнения (1) имеет вид

где — произвольные постоянные. Это решение можно записать в виде

где Чтобы выделить единственное решение, необходимо задать значения функции и ее производной в некоторый момент времени Пусть для простоты, тогда начальные данные таковы:

Будем считать, что есть координата в момент времени частицы, движущейся по оси х, и пусть ее начальная скорость положительна. Тогда частица будет двигаться вправо, пока не дойдет до точки где (эта формула следует из сравнения (3) и (4)). Затем частица поворачивает налево и движется до точки Таким образом, частица совершает периодические колебания. Число А называется амплитудой

колебаний, число начальной фазой. Колебания совершаются с периодом . В данном случае период колебаний не зависит от амплитуды (иначе обстоит дело для нелинейных периодических колебаний — гл. 4, § 5).

Механическая или физическая система, которая описывается уравнением (1), называется гармоническим осциллятором. Примеры таких систем:

1°. Малые колебания маятника.

2°. Малые колебания груза, подвешенного на упругой пружине, под действием силы тяжести.

3°. Электрические колебания в контуре, состоящем из емкости С и индуктивности