2. Определитель Вронского.

Пусть вектор-функции с компонентами. Определитель

называется определителем Вронского (или вронскианом) набора вектор-фунйции

Всюду в дальнейшем предполагается, что все рассматриваемые вектор-функции непрерывны при и их линейная зависимость исследуется при

Лемма 1. Ясли вронскиан системы вектор-функций отличен от нуля хотя бы в одной точке , то эти вектор-функции линейно независимы.

Доказательство. Допустим, что вектор-функции линейно зависимы; тогда существуют постоянные не равные нулю одновременно и такие, что

В частности,

Так как то векторы линейно независимы и потому все постоянные с равны нулю. Полученное противоречие доказывает лемму.

Лемма 2. Если вектор-функции ли нейно вависимы, то их вронскиан тождественно равен нулю.

Доказательство следует из того, что если столбцы определителя линейно зависимы, то определитель равен нулю.

Следующая лемма имеет важнейшее значение для линейной теории. Рассмотрим однородную линейную систему из уравнений

с непрерывной при матрицей-функцией

Лемма 3. Пусть вектор-функции — решения системы (6). Если их вронскиан обращается в нуль хотя бы в одной точке то эти вектор-функции линейно зависимы.

Доказательство. Так как то существуют постоянные не равные нулю одновременно и такие, что выполняется тождество (5). Рассмотрим

вектор-функцию

которая есть решение системы (6) и в силу (5). Вектор-функция удовлетворяет системе (7) и имеет те же данные Коши, что и так как По теореме единственности так что и из (7) следует линейная зависимость вектор-функций

Замечание. Для произвольных вектор-функций утверждение леммы 3 неверно. Например, вектор-функции

линейно независимы на любом интервале, поскольку ли» нейно независимы их вторые компоненты вронскиан этих вектор-функций тождественно равен нулю.