§ 5. Элементы теории возмущений

В этом параграфе рассматриваются некоторые асимптотические методы для нелинейных уравнений и систем, содержащих малый положительный параметр е. Независимое переменное есть неизвестные функции обозначаются Все рассматриваемые функции и вектор-функции принимают только вещественные значения. Предполагается, что все заданные функции и вектор-функции (правые части систем) бесконечно дифференцируемы по совокупности переменных когда точка лежит в некоторой области

Здесь фиксированное число.

1. Регулярная теория возмущений.

Начнем с простейшего случая зависимости уравнения от малого параметра в. Рассмотрим задачу Коши для скалярного уравнения

решение которой обозначим .

Пусть решение задачи Коши при

существует и единственно на отрезке Тогда справедлива теорема о дифференцируемости решения по параметру, которая описывает асимптотическое поведение решений при

Теорема 1. Если достаточно мало, то при решение задачи Коши (1) существует на всем отрезке и при любом справедливо

разложение

Для остаточного члена при справедлива оценка

где постоянная не зависит от е.

Функция считается известной; покажем, как вычислить следующие члены разложения (3). Подставим это разложение в уравнение (1)

и разложим правую часть по степеням с точностью до слагаемых порядка . Для функции получим задачу Коши (2).

Для функции получим задачу Коши

Это линейное дифференциальное уравнение первого порядка, так что решение задачи (5) существует и единственно на всем отрезке Более того, функция вычисляется в квадратурах. Для всех последующих приближений также получаются линейные уравнения первого порядка вида

где — известные функции. Эти уравнения различаются лишь правыми частями. Решение каждой из задач Коши (6) существует и единственно при все функции и все они при могут быть вычислены в квадратурах.

Теорема 1 справедлива для системы из уравнений

Для вектор-функций получаются системы линейных уравнений с переменными коэффициентами вида (5), (6), где — матрица Якоби Все эти системы имеют одни

и те же коэффициенты и различаются лишь правыми частями.

Пример 1. Найдем асимптотику при решения задачи Коши для уравнения Дуффинга (гл. 4, § 5)

где — постоянная, Будем искать решение в виде (3). Подставляя это разложение в уравнение, получаем

Приравнивая коэффициенты при степенях получаем уравнения для Для нулевого приближения получаем задачу Коши

откуда находим Для всех последующих приближений данные Коши будут нулевыми;

Для первого приближения получаем уравнение

Следовательно (см. гл. 2, § 7),

Второе приближение есть решение задачи Коши с нулевыми начальными данными для уравнения

Отсюда находим

Видпо, как сильно усложняются формулы для приближений с ростом

На этом примере вйдны некоторые закономерности, присущие многим нелинейным задачам.

1. Последовательные приближения обогащаются гармониками. Действительно, нулевое приближение содержит только гармонику частоты первое приближение содержит гармоники с частотами второе приближение содержит гармоники с частотами Нетрудно видеть, что приближение будет содержать гармоники с частотами

2. Возникают секулярные члены, неограниченные на полуоси . Первое приближение содержит секулярный член вида второе — секулярный член вида Нетрудно видеть, что приближение будет содержать слагаемое вида

Это обстоятельство — появление секулярных членов — привело к необходимости создания более тонких асимптотических методов. Некоторые из них кратко изложены ниже. Мы ограничимся построением формальных асимптотических решений (сокращенно ФАР). Именно, функция называется системы (1) с точностью до если она удовлетворяет системе с точностью до слагаемого порядка т. е.

где . В этом случае говорят также, что удовлетворяет системе с невязкой порядка