§ 10. Элементы аналитической теории дифференциальных уравнений. Уравнение Бесселя

1. Уравнения с аналитическими коэффициентами.

Рассмотрим линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка

коэффициенты которого — степенные ряды:

Напомним основные сведения о степенных рядах [26, 33]. Пусть ряд

сходится хотя бы в одной точке . Тогда существует число такое, что ряд (2) сходится при и расходится при (если то ряд сходится при всех х). Число называется радиусом сходимости степенного ряда. Здесь х может принимать как

вещественные, так и комплексные значения, так что область при конечном есть круг в комплексной плоскости х радиуса с центром в точке а. Этот круг называется кругом сходимости степенного ряда (2).

Функция называется аналитической в круге если она разлагается в степенной ряд (2), сходящийся в этом круге.

Теорема единственности. Если степенные ряды сходятся в круге и

в этом круге, то

Если радиус сходимости степенного ряда (2), то этот ряд сходится абсолютно и равномерно в любой меньшем замкнутом круге Степенной ряд можно почленно дифференцировать любое число раз, и все продифференцированные ряды имеют тот же радиус сходимости.

Теорема 1. Пусть коэффициенты уравнения (1) аналитичны в круге Тогда всякое решение уравнения (1) аналитично в этом круге, т. е. разлагается в степенной ряд

сходящийся в круге

Доказательство этой теоремы см. в [1, 28]. Эта теорема справедлива для линейного дифференциального уравнения любого порядка

Если коэффициенты аналитичны в круге то все решения этого уравнения аналитичны в этом круге.

Вернемся к уравнению (1). Теорема 1 ценна тем, что дает возможность проинтегрировать уравнение (1), т. е. построить решения этого уравнения в виде степенных рядов. Пусть для простоты. Будем искать рещение

в виде ряда по степеням х с неопределенными коэффициентами

Подставляя в уравнение (1), получаем

Обе части этого тождества — степенные ряды, и по теореме единственности все коэффициенты ряда, стоящего в левой части, равны нулю. Приравнивая нулю коэффициенты при степенях получаем рекуррентную систему уравнений для неизвестных

Первые два коэффициента можно задать произвольно (это эквивалентно постановке задачи Коши После этого из первого уравнения находим затем из второго находим Точно так же находятся решения однородного линейного дифференциального уравнения порядка с аналитическими коэффициентами.

Пример. Найдем решения уравнения Эйри

Будем искать решение в виде ряда (4). Подставив ряд в уравнение, получим

и для коэффициентов получим рекуррентную систему

Положим тогда

т. е. отличными от нуля будут только коэффициенты -Имеем

откуда находим

Тем самым построено решение

Второе линейно независимое решение получим, положив Тогда отличными от нуля будут только коэффициенты Имеем

откуда находим

Оба ряда сходятся при всех комплексных х. Действительно, коэффициент, и уравнения — функция, аналитическая при всех и в силу теоремы 1 все решения уравнения Эйри аналитичны при всех х.