ГЛАВА 7. АСИМПТОТИКА РЕШЕНИЙ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

§ 1. Эвристические соображения

Рассмотрим уравнение второго порядка

на конечном отрезке . Будем предполагать, что функция вещественна, строго положительна и бесконечно дифференцируема при

Нас интересует поведение решений уравнения (1) при к Такого рода задачи возникают в самых разных физических задачах, в частности, в задачах о распространении -звуковых, электромагнитных, упругих волн и в квантовой механике.

Если — постоянная, то уравнение (1) имеет два линейно независимых решения Будем искать решение в виде экспоненты, умноженной на ряд по степеням

Сходимость ряда мы пока что обсуждать не будем.

При вычислениях удобнее искать у в несколько ином виде:

Сделаем подстановку

тогда для получим уравнение Риккати

Имеем из (2), (4)

Подставим это выражение в (4):

и приравняем коэффициенты при одинаковых степенях к:

Отсюда находим

( не зависит от выбора знака корня), и можно затем последовательно найти Подставляя в (2) и учитывая, что

получаем (с точностью до два приближенных решения

Выбор нижнего предела интегрирования несуществен, так как его изменение приводит к умножению решения на постоянную. Выпишем еще

(это отвечает выбору в экспоненте).

В последующих параграфах эти формальные соображения будут строго обоснованы.

Асимптотические формулы вида (4) носят название ВКБ-приближение (по именам Г. Вентцеля, Г. Крамера, Л. Бриллюэна, которые получили эти формулы в 1926 г. в связи с задачами квантовой механики), или коротковолновое приближение. Эти формулы широко применяются в задачах акустики, электродинамики, теории упругости, квантовой механики и других.