ГЛАВА 2. ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА РЕШЕНИЙ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

§ 1. Основная теорема

1. Формулировка.

В этой главе независимое переменное есть (оно играет роль времени), неизвестные функции обозначаются Все функции и вектор-функции принимают вещественные значения. Рассмотрим систему дифференциальных уравнений:

Мы будем использовать векторные обозначения. Введем вектор-функции

Тогда система запишется в виде

Это общий вид системы первого порядка в нормальной форме т. е. разрешенной относительно

Задачей Коши (или задачей с начальными данными) называется следующая задача: найти решение системы (1) такое, что

где заданное число, — заданный вектор. Решением системы (1) называется вектор-функция которая определена и непрерывно дифференцируема на некотором интервале и удовлетворяет системе.

Пусть — решение системы (1), определенное при Интегральной кривой системы (1) называется кривая -мерном пространстве с координатами Геометрическая интерпретация задачи Коши такова: требуется найти интегральную кривую системы (1), проходящую через заданную точку

Вектор касается интегральной кривой в точке . В силу (1) этот вектор равен вектору . Пусть вектор-функция определена в области Построив в каждой точке вектор , получим в области векторное поле. Интегральные кривые системы (1) принадлежат этому полю, т. е. касаются векторов этого поля в каждой точке, и обратно, всякая непрерывно дифференцируемая кривая принадлежащая данному векторному полю, является интегральной кривой системы (1). Такова геометрическая интерпретация системы (1).

Сформулируем основную теорему теории обыкновенных дифференциальных уравнений.

Теорема существования и единственности. Пусть — область в пространстве (с координатами ), вектор-функция и ее производные —7 определены и непрерывны в области Рассмотрим задачу Коши (1), (2), где Тогда

1°. Решение задачи Коши существует на некотором интервале

2°. Решение задачи Коши единственно, т. е. если имеется два решения задачи (1), (2), то в некоторой окрестности точки

Геометрическая интерпретация основной теоремы такова: в условиях теоремы через каждую точку области проходит интегральная кривая, и притом только одна.

Для доказательства этой теоремы сведем систему дифференциальных уравнений (1) к системе интегральных уравнений.

Лемма 1. Задача Коши (1), (2) эквивалентна системе интегральных уравнений

Именно: 1) всякое решение задачи (1), (2) удовлетворяет уравнению (3); 2) всякое непрерывное на некотором интервале решение уравнения (3) является решением задачи (1), (2).

Доказательство. Пусть — решение задачи Коши (1), (2), определенное на интервале , и пусть лежит на этом интервале. Интегрируя обе части (1) от до и учитывая (2), получаем (3).

Пусть — непрерывное на интервале I решение уравнения (3). Тогда так что (2) выполнено. Далее, так как вектор-функции непрерывны, то вектор-функция непрерывна при и потому вектор-функция дифференцируема при Следовательно, вектор-функция дифференцируема при Дифференцируя обе части равенства (3), получаем, что удовлетворяет системе (1). Уравнение (3) запишем в операторной форме:

Здесь А — оператор

Сформулируем определение оператора.

Пусть каждой функции из некоторого множества функций М поставлена в соответствие некоторая функция Тогда мы говорим, что задан оператор А, переводящий функцию в функцию

Будем записывать это в виде или (читается: А переводит

Это определение дословно переносится на тот случай, когда — вектор-функции.

Приведем примеры операторов.

1. Оператор умножения на функцию:

Здесь — заданная непрерывная на отрезке функция.

2. Оператор дифференцирования:

3. Оператор интегрирования:

В примерах 1, 3 функция непрерывна, а в примере 2 — дифференцируема на отрезке .

4. Оператор действующий по формуле (5). Здесь — непрерывная на некотором интервале I вектор-функция такая, что все точки при лежат в области определения вектор-функции

Как и в случае обычных функций, вводятся понятия: область определения и область значений оператора.

Понятие оператора является естественным обобщением понятия функции. Именно,

функция: число число,

оператор: функция функцию, вектор-функция вектор-функцию.

Оба эти понятия — частный случай понятия «отображение», напомним его.

Пусть даны два произвольных множества X, Y. Мы скажем, что задано отображение множества X в множество У, если каждому элементу поставлен в соответствие некоторый элемент . Для функции X и Y — множества чисел, для оператора X и Y — множества функция (или вектор-фупкций).

Доказательство основной теоремы будет проведено в § 5 с помощью принципа сжатых отображений, что потребует введения ряда новых понятий и дополнительных фактов из анализа (§§ 2—4). Здесь мы ограничимся случаем одного уравнения.