§ 6. Неоднородные линейные системы с переменными коэффициентами
Рассмотрим лпнейную систему из
уравнений
Матрица-функция
и вектор-функция
непрерывны на интервале I.
Теорема. Система (1) имеет частное решение
Здесь
— фундаментальная матрица однородной системы
Доказательство. Применим метод вариации постоянных, т. е. будем искать решение системы (1) в виде
где с
неизвестная вектор-функция. Подставляя в (1) и учитывая, что
, получаем
откуда находим
Так как
— фундаментальная матрица системы (3), то ее определитель нигде не обращается в нуль и потому матрица-функция
Существует и непрерывна при
Интегрируя уравнение для с
находим частное решение
Подставив это выражение в (4), получим (2).
Замечание. В формуле (2) можно каждую компоненту вектор-функции
интегрировать по своему интервалу, т. е.
компоненту интегрировать по интервалу
Этот очевидный факт играет существенную роль в асимптотической теории обыкновенных дифференциальных уравнений [12].
Всякое решение неоднородной системы (1) есть сумма ее частного решения и общего решения однородной системы. Поэтому, если известна фундаментальная система решений однородной системы, то отыскание всех решений неоднородной системы сводится к квадратурам —
. В частности, решение задачи Коши
для системы (1) дается формулой