2. Замечания о системах в трехмерном пространстве.

Рассмотрим автономную систему

Векторное поле будем интерпретировать как поле скоростей (см. § 1, п. 2). Векторное поле называется потенциальным (пли безвихревым) в области если

в этой области.

Теорема. Пусть векторное поле — потенциальное в односвязной области . Тогда система (9) не имеет замкнутых фазовых траекторий (циклов), лежащих в

Доказательство. Допустим противное; тогда существует замкнутая фазовая траектория у, лежащая в области Ее уравнение есть — периодическая вектор-функция: — наименьший период). Пусть — поверхность с краем 7, лежащая в — циркуляция векторного поля вдоль кривой По формуле Стокса имеем

С другой стороны, на

так как скалярный квадрат положителен. Полученное противоречие доказывает теорему.

Выясним, что происходит с бесконечно малой каплей жидкости в процессе ее движения. Пусть точка х лежит в шаре бесконечно малого радиуса с центром в

точке х. За бесконечномалое время точка х смещается в точку у, точка в точку у. Пренебрегая бесконечно малыми высшего порядка но сравнению с получаем

Вектор преобразуется в вектор

Пренебрегая бесконечно малыми высшего порядка относительно получаем

где — матрица Якоби так что

Итак, бесконечно малый вектор а с центром в точке капли переходит в бесконечно малый вектор с центром в точке У сдвинутой и деформированной капли. Капля сдвигается на вектор выясним, как она деформируется.

Представим матрицу в виде суммы симметричной матрицы и кососимметричной матрицы

Из тождеств

находим

Пренебрегая бесконечно малыми порядками получаем

т. е. вектор 6 получается из вектора а в результате последовательного применения бесконечно малых линейных преобразований Выясним геометрический смысл этих преобразований.

Матрица те — симметричная. Как известно из линейной алгебры [8], [20], вектор те а получается из вектора а растяжением вдоль трех взаимно перпендикулярных направлений (главные оси). Именно, для симметричной матрицы существует ортонормированный базис состоящий из собственных векторов этой матрицу где — собственные значения. Вектор те а получается из вектора растяжением вдоль направлений с коэффициентами так что бесконечно малый шар радиуса переходит в бесконечно малый эллипсоид с полуосями (рис. 25). Пусть V объем шара, V — объем эллипсоида;

тогда

Поэтому относительное объемное расширение 0 равно

Матрица называется тензором деформации.

Из формулы (11) следует, что

Следовательно, это преобразование — поворот вокруг оси, проходящей через начало координат и направленной вдоль вектора на бесконечно малый угол — Это преобразование не изменяет объема (с точностью до малых высшего порядка относительно тир). Объем изменяет только преобразование тем самым, в силу (12), заново доказана теорема Лиувилля (см. 6)).

Рис. 25.

Итак, бесконечно малая капля жидкости с центром в точке х по прошествии бесконечно малого времени испытывает:

1) смещение на вектор (поступательное движение);

2) вращение с мгновенной угловой скоростью

3) растяжение вдоль трех взаимно перпендикулярных осей (деформация).

Вычислим приращение длины вектора. Оно происходит только при деформации. Имеем так что

С точностью до бесконечно малых высшего порядка имеем

Точно так же описываются малые деформации твердого тела.