Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше
Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике
Здесь различны, — положительные целые числа. Корень называется простым, если и кратным, если Число называется кратностью корня характеристического уравнения.
Теорема 2. Пусть характеристическое уравнение имеет различные корни кратностей соответственно, Тогда всякое решение уравнения (1) имеет вид
— многочлен степени и всякая функция вида (9) есть решение уравнения (1).
Доказательство проведем по индукции. Представим оператор в виде
и обозначим тогда для получим уравнение порядка По предположению индукции имеем
Здесь — многочлены степеней — многочлен степени если то Мы получили уравнение первого порядка относительно у с правой частью — квазимногочленом. Если — простой корень, то это уравнение имеет частное решение вида
где — многочлен степени всякое решение однородного уравнения имеет вид где — произвольная постоянная (§ 4). Тем самым (9) доказано.
Если Я — кратный корень, то неоднородное уравнение имеет частное решение вида
можно представить в виде
различны, 
— положительные 
и кратным, если 
Число называется кратностью корня 
характеристического уравнения.
кратностей 
соответственно, 
Тогда всякое решение уравнения (1) имеет вид
— 
и всякая функция вида (9) есть решение уравнения (1).
в виде
тогда для 
получим уравнение 
порядка 
По предположению индукции имеем
— многочлены степеней 
— 
если 
то 
Мы получили уравнение первого порядка относительно у с правой частью — квазимногочленом. Если 
— простой корень, то это уравнение имеет частное решение вида
— 
всякое решение 
где 
— произвольная постоянная (§ 4). Тем самым (9) доказано.
— 
— многочлен степени 
Сумма 
и решения 