3. Случай кратных корней.

Пусть среди корней характеристического уравнения имеются одинаковые. Тогда можно представить в виде

Здесь различны, — положительные целые числа. Корень называется простым, если и кратным, если Число называется кратностью корня характеристического уравнения.

Теорема 2. Пусть характеристическое уравнение имеет различные корни кратностей соответственно, Тогда всякое решение уравнения (1) имеет вид

— многочлен степени и всякая функция вида (9) есть решение уравнения (1).

Доказательство проведем по индукции. Представим оператор в виде

и обозначим тогда для получим уравнение порядка По предположению индукции имеем

Здесь — многочлены степеней — многочлен степени если то Мы получили уравнение первого порядка относительно у с правой частью — квазимногочленом. Если — простой корень, то это уравнение имеет частное решение вида

где — многочлен степени всякое решение однородного уравнения имеет вид где — произвольная постоянная (§ 4). Тем самым (9) доказано.

Если Я — кратный корень, то неоднородное уравнение имеет частное решение вида

где — многочлен степени — многочлен степени Сумма и решения однородного уравнения имеют вид (9).