а во втором случае 
будет 
-кратным малым решением как уравнения (2.1), так и уравнения (2.14). В данном случае мы представим левую часть уравнения (2.14), т. е. отмеченный многочлен 
в виде произведения степеней неприводимых отмеченных многочленов (см. определение 3.2 и теорему 3.2).
Именно, напишем, что
где 
— неприводимые отмеченные многочлены.
Рассмотрим теперь все те многочлены 
, которые входят в правую часть равенства (2.22) с одинаковыми степенями. Пусть, например, 
Положим тогда
Разумеется, 
принимает какие-то значения из ряда натуральных чисел. При помощи многочленов 
равенство (2.22) принимает вид
Эту запись нужно понимать так, что если среди чисел 
нет числа 
то 
т. е. в правой части (2.23) нет тогда сомножителя 
. Равенство (2.23) показывает, что если 
является 
-кратным решением уравнения 
то 
— простое решение уравнения
Применяя к данному уравнению (2.23) предыдущие рассуждения, мы при помощи диаграммы Ньютона получим для 
представление в виде сходящегося ряда (2.21).
Таким образом, и в случае кратных корней определяющего уравнения нами доказаны утверждения 2.2 и 2.3.
Отметим еще, что многочлены, входящие в равенство (2.22), а значит и многочлены 
, входящие в равенство (2.23), могут быть найдены при помощи алгоритма, изложенного в § 4.
Замечание 2.2. Отметим, что рассуждения, содержащиеся в данном и предыдущем пунктах, приводят
к другому доказательству утверждения теоремы 2.1 для уравнения (2.1).
Пусть 
— корень уравнения (2.18), кратность которого 
, так что первый член разложения (2.4) будет 
и (2.5) примет вид
Учитывая замену 
получим
и, полагая 
будем иметь
Подставляя данное выражение 
в (2.17), точнее, в выражение для 
получим
или
Применяя к данному уравнению диаграмму Ньютона, получим
Отсюда и из предыдущего имеем
так что
Продолжая данный процесс, мы и получим разложение по возрастающим степеням К (ибо 
).
— кратный корень определяющего уравнения (2.18), так что 
и теорема 1.2 неприменима. В этом случае соответствующие ряды (2.4) имеют одинаковые первые члены, а потому для определения следующих членов разложения (2.4) нужно будет последовательно пользоваться представлениями вида (2.5). Для того чтобы иметь дело с целыми показателями, мы преобразуем уравнение (2.1) не при помощи (2.5), а следующей подстановкой:
в окрестности точки 
как это было сделано в 
при определении V.
кратности корней 
соответствующих определяющих уравнений не возрастают. Ввиду этого либо при некотором 
окажется, что — простой корень соответствующего определяющего уравнения, либо 
будут корнями одной и той же кратности 
соответствующих определяющих уравнений, а 
будут корнями соответствующих уравнений, кратности которых не меньше 
