§ 35. К теории малых прогибов гибких пластин

35.1. Постановка задачи и некоторые общие замечания.

Рассмотрим в ограниченной плоской области с границей Г систему нелинейных дифференциальных уравнений теории гибких пластин

Здесь и Ф — неизвестные функции: — функция прогиба, — функция напряжений. и Е — известные положительные постоянные: — жесткость на изгиб, — толщина пластины, Е — модуль упругости. — непрерывная в известная функция — нагрузка на пластину, которая предполагается

малой малый параметр). Наконец, через обозначено билинейное дифференциальное выражение

Ставится граничная задача об отыскании решений уравнения (35.1), удовлетворяющих следующим граничным условиям:

Задача (35.1) — (35.2) охватывает, как известно, широкий класс краевых задач нелинейной теории гибких пластин. Для исследования этой задачи удобно преобразовать ее к иному виду. Пусть с — решение краевой задачи:

Введем функцию

Очевидно, имеем следующие формулы:

Нашей целью является изучение продолжения решений задачи (35.1) — (35.2) по параметру Р, поэтому положим еще . В результате для определения функций и возникает следующая краевая задача с однородными граничными условиями:

Эту краевую задачу мы запишем в виде одного абстрактного уравнения типа (23.6). Введем банахово пространство двумерных функциональных столбцов

где причем — подпространства соболевского пространства с элементами, удовлетворяющими соответствующим однородным граничным условиям.

Положим, далее (матричные обозначения),

С помощью этих обозначений задача запишется так:

Из теорем вложения Соболева — Кондрашева следует что вполне непрерывно вложено в поэтому значения билинейного оператора лежат в банаховом пространстве двумерных столбцов с непрерывными в компонентами. Далее, значения В лежат в банаховом пространстве двумерных столбцов с компонентами из которое мы обозначим через Следовательно, операторы имеют значения в Кроме того,

Сделаем теперь следующее основное предположение: пусть краевая задача

является фредгольмовской с числом нулей или (Заметим, что обычно эта задача оказывается даже самосопряженной, а отвечающая ей

функция Грина порождает вполне непрерывный интегральный оператор, причем одно или несколько его первых собственных значений оказываются простыми.) Тогда фредгольмовским будет и оператор В, и числа нулей В и задачи (35.3) совпадают. Заметим еще, что если то для разрешимости уравнения

необходимо и достаточно, чтобы

где — нетривиальное решение краевой задачи, формально сопряженной к задаче (35.3).

Сказанное выше позволяет воспользоваться для исследования нелинейных прогибов гибких пластин методами и выводами, полученными выше. При задача всегда имеет тривиальное решение. Если то это тривиальное решение продолжается по параметру для значений, близких к единственным образом и его можно найти в виде сходящегося ряда по целым степеням (Этот результат обосновывает, в частности, известный метод малого параметра П. Я. Полубариновой-Кочиной [1].)

Если то, предполагая, что имеет место невырожденный случай (это предположение, по-видимому, здесь всегда выполнено), мы можем воспользоваться рассуждениями, приведенными в § 24, составить уравнение разветвления, построить кривые разветвления и таким образом определить число и вид решений, близких к тривиальному. В частности, на каждом луче все малые решения представимы в виде сходящихся рядов по дробным степеням е. Случай известен в нелинейной теории пластин (см. И. И. Ворович [1]). Значение при котором соответствует моменту потери устойчивости пластины, и при Р, близких к возможно появление нескольких решений, часть которых может оказаться устойчивыми, а часть — неустойчивыми. Вопросами устойчивости мы здесь не занимаемся.