10.3. Одномерный случай ветвления.
Пусть 1 является простым собственным значением оператора (10.6), 
— нормированная собственная функция этого оператора Т и 
— нормированная собственная функция сопряженного оператора 
Так же, как в п. 8.4, рассмотрим ядро
положим
и тогда уравнение (10.4) примет вид
По лемме Шмидта существует резольвента Фредгольма 
ядра 
и последнее уравнение преобразуется к виду (см. формулу (8.4))
или, так как 
(см. п. 8.4),
где
При достаточно малых фиксированных 
как мы видели раньше (см. п. 8.4) и формулу (8.14)), уравнение (10.12) имеет единственное непрерывное решение, и оно представимо в виде равномерно сходящегося ряда
с непрерывными коэффициентами 
Для нахождения 
можно воспользоваться методом неопределенных коэффициентов. Именно, подставляя
(10.14) в (10.12), имеем
Сравнивая коэффициенты при одинаковых одночленах относительно 
и 
, мы из (10.15) получаем рекуррентную систему для 
(см. скан)
(кликните для просмотра скана)
(кликните для просмотра скана)
где Ф — некоторый функционал указанных функциональных аргументов.
Для определения возможных значений 
входящих в решение (10.14) уравнения (10.4), мы подставим (10.14) в (10.11). Получим тогда
Полагая
и учитывая, что
мы приходим к уравнению разветвления в одномерном случае
